Differentieerregels > De kettingregel
123456De kettingregel

Uitleg

Je hebt van de functie `s(x) = (x^2 + 10)^2` de afgeleide nodig.
Differentiëren door lukt nu alleen nog door eerst de haakjes weg te werken, dit geeft:

`s(x) = x^4 + 20x^2 + 100`

en dus

`s'(x) = 4x^3 + 40x`

Dit wegwerken van de haakjes is bijna ondoenlijk als het hogere machten betreft.
Bekijk daarom de functie als een ketting van meerdere schakels:

  • `s(x) = f(g(x)) = (g(x))^2`

  • `g(x) = x^2 + 10`

De afgeleide `s'(x)` bepaal je nu door schakel voor schakel te differentiëren:
`s'(x) = 2(g(x))^1*g'(x) = 2(x^2 + 10) * 2x = 4x^3 + 40x`

Je gebruikt: `f'(g(x)) = 2(g(x))^1` en `g'(x) = 2x` .

In het algemeen geldt: als `s(x) = f(g(x))` , dan is `s'(x) = f'(g(x)) * g'(x)` .
Deze regel wordt de kettingregel genoemd.

Opgave 1

Bekijk de functie in Uitleg 1.
Van deze functie wordt op twee manieren de afgeleide bepaald.

a

Bereken eerst zelf de afgeleide door eerst van `s` de haakjes weg te werken.

b

Bekijk vervolgens hoe `s(x)` in afzonderlijke schakels kan worden ontleed.
Bepaal nu de afgeleide door die afzonderlijke schakels te differentiëren.

Bekijk ook de functie `t(x) = g(f(x)) = (x^2)^2 + 10` .

c

Uit welke twee schakels bestaat deze functie?

d

Bereken de afgeleide van `t(x)` op twee manieren: door eerst de haakjes weg te werken en daarna door de schakels te gebruiken. Laat zien dat beide afgeleiden hetzelfde zijn.

Opgave 2

Gegeven is de functie: `f(x) = (4x^2 + 2x)^2` .

a

Uit welke twee schakels bestaat `f` ?

b

Bepaal `f'(x)` zonder eerst de haakjes weg te werken, dus met de kettingregel.

c

Bepaal `f'(x)` door eerst de haakjes weg te werken van `f(x)` .

d

Laat zien dat je bij b en bij c dezelfde afgeleide vindt.

verder | terug