Kijk goed op welke plaatsen de grafiek voor de lengte sneller daalt dan de grafiek voor de breedte. Dit is ongeveer als `0 lt t lt 45` .
Vergelijk de grafieken en zoek de plaats waar de lengte `L` even groot is als de breedte `B` . Want in dat geval is de plank vierkant. Dit is het geval bij `t ~~ 110` dagen.
In de lengte krimpt de plank dan met `58,5*0,007=0,4095` cm2 en in de breedte met `58,3*0,017 = 0,9911` cm2 en er is nog een klein stukje van `0,007*0,017 ~~ 0,000119` cm2. De plank krimpt op die dag dan in totaal ongeveer `1,4` cm2.
`p(x) = x^2 * x^3`
geeft met de productregel:
`p'(x) = 2x^1 * x^3 + x^2 * 3x^2 = 2x^4 + 3x^4 = 5x^4`
En dat komt overeen met de afgeleide die je krijgt als je eerst
`p(x)`
herleidt.
`p'(x) = 4x^3 * x^5 + x^4 * 5x^4=9x^8`
`p(x) = x^9` geeft ook `p'(x) = 9x^8` .
`u(x) = x^2` en `v(x) = x^3 - 4x`
`f'(x) = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x) = 2x*(x^3 - 4x) + x^2*(3x^2 - 4) = 5x^4 - 12x^2`
`f(x) = x^5 - 4x^3` geeft ook `f'(x) = 5x^4 - 12x^2` .
`u'(x) = 2x + 3`
`v'(x) = 3(x^2 + 10)^2 * 2x = 6x (x^2 + 10)^2`
`f'(x) = (2x + 3)(x^2 + 10)^3 + 6x(x^2 + 3x)(x^2 + 10)^2`
`f(x) = (x^2 - 1)*(4 - x^2)^(1/2)`
`f'(x) = 2x*sqrt(4 - x^2) + (x^2 - 1)*(1/2)*1/(sqrt(4-x^2))*text(-)2x = 2x sqrt(4 - x^2) - (x^3 - x)/(sqrt(4 - x^2))`
`f'(x)` | `=` | `0` | |
`2x sqrt(4 - x^2)` | `=` | `(x^3-x)/(sqrt(4 - x^2))` | |
`2x(4 - x^2)` | `=` | `x^3 - x` | |
`3x^3 - 9x` | `=` | `0` | |
`3x(x^2 - 3)` | `=` | `0` | |
`x` | `=` | `0 vv x = +-sqrt(3)` |
Je vindt daarom extremen bij
`x = 0 ∨x = text(-)sqrt(3) vvx = sqrt(3)`
. Bekijk ook de grafiek.
De extremen zijn: max.
`f(text(-)sqrt(3)) = 2`
, max.
`f(sqrt(3)) = 2`
en min.
`f(0) = text(-)2`
.
`f'(1) = 2 sqrt(3 )`
. Dit is het hellingsgetal van de raaklijn.
De raaklijn is van de vorm
`y = 2sqrt(3)x + b`
en gaat door
`(1, 0)`
.
`0 = 2sqrt(3)*1 + b`
geeft
`b = text(-)2sqrt(3)`
.
De raaklijn is dan
`y = 2sqrt(3)x - 2sqrt(3)`
.
`f'(x) = 3x^2*(4x^2-5x) + (x^3+6)(8x-5) = 20x^4 - 20x^3 + 48x - 30`
`g(x) = (10 - x)*sqrt(x) = (10 - x)*x^(1/2)`
`g'(x) = text(-)1*sqrt(x) + (10-x)*1/2 x^(text(-)1/2) = text(-)sqrt(x) + (10-x)/(2sqrt(x))`
`R'(t) = 3(t+5)^4 + 3t*4(t+5)^3 * 1 = 3(t+5)^4 + 12t(t+5)^3`
`y(x) = x*sqrt(5 + x^2) = x(5+x^2)^(1/2)`
`y'(x) = 1*(5+x^2)^(1/2) + x*1/2*(5+x^2)^(text(-)1/2)*2x = sqrt(5 + x^2) + (x^2)/(sqrt(5
+ x^2))`
`y(x) = x-sqrt(5 + x^2) = x - (5+x^2)^(1/2)`
`(text(d)y)/(text(d)x) = 1 - 1/2*(5+x^2)^(text(-)1/2)*2x = 1 - x/(sqrt(5 + x^2))`
`V(r) = (100 - 5/r)(20 - r)^2 = (100 - 5r^(text(-)1))(20 - r)^2`
`V'(r) = 5r^(text(-)2)*(20-r)^2 + (100 - 5/r)*2(20 -r)^1*text(-)1 = (5(20-r)^2)/(r^2)
- (100-5/r)(40-2r)`
`(0, 0)` en `(4, 0)` .
`f(x)` | `=` | `x^2(2x-8)^4` | |
`f'(x)` | `=` | `2x(2x-8)^4 + x^2*4(2x-8)^3*2` | |
`f'(x)` | `=` | `2x(2x-8)^4 + 8x^2(2x-8)^3` |
Haal de factor `2x-8` buiten haakjes: `f'(x)= (2x - 8)^3 (12x^2 - 16x)` .
`f'(x) = (2x-8)^3 (12x^2-16x) = 0`
geeft
`x = 4 vv x = 0 vv x = 4/3`
.
Grafiek: min.
`f(0) = 0`
, max.
`f(4/3) = 1438 274/729`
en min.
`f(4) = 0`
.
Lees af uit de grafiek: `0 < k < 1438 274/729` .
`xsqrt(8-x^2) = 0` geeft `x = 0 vv x = +-sqrt(8)` .
`f'(x) = sqrt(8 - x^2) - (x^2)/(sqrt(8 - x^2)) = 0`
geeft
`sqrt(8-x^2) = (x^2)/(sqrt(8-x^2))`
en
`8-x^2 = x^2`
, dus
`x = text(-)2 vv x = 2`
. De extremen zijn min
`f(text(-)2) = text(-)4`
en max.
`f(2) = 4`
.
Dus (zie grafiek)
`text(B)_f = [text(-)4, 4]`
.
`f'(0) = sqrt(8) ≈ 2,83`
.
De raaklijn is
`y = 2,83 x`
.
`f'(x) = 0,5x - 1,5sqrt(x) = 0`
geeft
`x = 0 ∨ x = 9`
.
Er is een max.
`f(0) = 0`
en een min.
`f(9) = text(-)6,75`
dus (bekijk de grafiek)
`B_f = [text(-)6,75; →〉`
.
`f''(x) = 0,5 - (0,75)/(sqrt(x)) = 0` oplossen geeft `x = 2,25` , dus het buigpunt is `(2,25 ; text(-)2,1094 )` .
`f'(x) = 0,5x - 1,5sqrt(x) = 2` geeft `x = 16` (gebruik de GR).
Dus in `(16, 0)` .
De oppervlakte van het rechthoekige deel is
`3*2x = 6x`
.
De loodlijn in driehoek
`BDC`
kun je berekenen met de stelling van Pythagoras:
`x^2 + l^2 = 9`
en hieruit volgt
`l = sqrt(9 - x^2)`
.
De oppervlakte van de driehoek wordt dan
`1/2*2x*sqrt(9-x^2) = x sqrt(9-x^2)`
. Denk aan de oppervlakteformule voor een driehoek:
`1/2`
`xx`
basis
`xx`
hoogte.
Bij elkaar opgeteld wordt de oppervlake
`6x + x*sqrt(9 - x^2)`
.
In functievorm:
`A(x) = 6x + x*sqrt(9 - x^2)`
.
ongeveer `19,8` m2.
`f'(x) = 6 (1 + x^2)^3 + 36x^2 (1 + x^2)^2`
`H'(t) = sqrt(1 - t^2) - (t^2)/(sqrt(1 - t^2))`
`y'(x) = 2a(ax - 4)(6 - x)^3 - 3(ax - 4)^2 (6 - x)^2`
`g'(x) = 1/(4sqrt(x) sqrt((1 + sqrt(x))))`
`x = 0` en `x = 4` .
max. `f(1) = 1` en een min. `f(4) = 0` .
`y = 1000x` .