Je wilt een product van twee functies differentiëren. Je probeert `p(x) = x^2 * x^3` hieruit volgt `p'(x) = 2x*3x^2 = 6x^3` .

Maar je weet: omdat `p(x) = x^2 * x^3 = x^5` is `p'(x) = 5x^4` .

Dus je eerste probeersel was fout, je moet de functie eerst herleiden. Maar herleiden kan niet altijd. Hoe kun je dan toch productfuncties differentiëren?

Bekijk de figuur. Als de lengte en breedte van een rechthoek functies van `x` zijn, is de oppervlakte `A` een productfunctie:
`A(x) = f(x)*g(x)`

Je kunt de oppervlakte van deze rechthoek variëren door `x` te laten toenemen tot `x+h` . De nieuwe oppervlakte wordt dan:
`A(x+h) = f(x+h)*g(x+h)`

Je ziet dat de toename (van `A(x)` naar `A(x+h)` ) uit drie rechthoekjes bestaat:

• een rechthoekje met een oppervlakte van `f(x)*(g(x+h) - g(x))` .

• een rechthoekje met een oppervlakte van `g(x)*(f(x+h) - f(x))` .

• een klein rechthoekje, waarvan de oppervlakte heel snel `0` wordt als `h` naar `0` nadert. Dat rechthoekje mag je daarom weglaten.

Deel je die toename door `h` , dan geldt:
`(A(x+h) - A(x))/h ≈ f(x) * (g(x+h) - g(x))/h + g(x) * (f(x+h) - f(x))/h`

Nu is `(g(x+h) - g(x))/h = g'(x)` en `(f(x+h) - f(x))/h = f'(x)` als `h rarr 0` .

En dus krijg je: `A'(x) = f(x)*g'(x) + g(x)*f'(x)` .

Dit heet de productregel voor differentiëren.