`f'(x)= (t'(x))/(n'(x)) = (10x^4)/(2x) = 5x^3`
Maar dit klopt niet, want `f(x) = 2x^3` met afgeleide `f'(x) = 6x^2` .
Bijvoorbeeld door die functie te schrijven als `f(x) = x^(text(-)1)` . De afgeleide wordt dan: `f'(x) = 1 x^(text(-)2) = 1/(x^2)` .
Je kunt de functie `f(x) = (t(x))/(n(x))` schrijven als `f(x) = t(x)*(n(x))^(text(-)1)` en dan differentiëren met de productregel en de kettingregel.
`q(x) = 2x^5 * x^(text(-)2)` en `q'(x) = 10x^4 * x^(text(-)2) + 2x^5 * text(-)2x^(text(-)3) = 6x^2` .
`q'(x) = (10x^4 * x^2 - 2x^5 * 2x)/((x^2)^2) = (6x^6)/(x^4) = 6x^2` .
`f'(x) = (2x*(x-3) - x^2*1)/((x-3)^2) = (x^2-6x)/((x-3)^2)`
Het antwoord komt overeen met dat in de uitleg.
`f'(x)= (1*(x - 2) - 1*x)/((x - 2)^2) = text(-)2/((x - 2)^2)`
Je kunt deze functie niet vereenvoudigen en werken met de productregel kan wel, maar levert meer werk op.
`f'(x)= (1*x - 1*(x+1))/(x^2) = text(-)1/(x^2)`
`f(x) = 1 + 1/x = 1 + x^(text(-)1)`
geeft
`f'(x) = text(-)1 x^(text(-)2) = text(-)1/(x^2)`
.
Als je handig bent met machten gaat de tweede manier bijna uit het hoofd.
`f'(x) = ((2x + 1)*6x - (3x^2 - 4)*2)/((2x + 1)^2) = (6x^2 + 6x + 8)/((2x + 1)^2)`
`f(x) = 4(x - 2)^(text(-)2)`
`f'(x) = text(-)2*4(x - 2)^(text(-)3) = text(-)8/((x - 2)^3)`
`f(x) = (3x - 1)/((4 + x^2)^(1/2))`
`f'(x) = ((4+x^2)^(1/2)*3 - (3x-1)*1/2(4+x^2)^(text(-)1/2)*2x)/(4+x^2)`
`f'(x) = ((4+x^2)*3 - (3x-1)*2x)/((4+x^2)^(1 1/2))`
(teller en noemer
`xx (4+x^2)^(1/2)`
)
`f'(x) = (12+2x-3x^2)/((4+x^2)sqrt(4+x^2))`
`f(x) = (x^2 - 1)/(x + 1) = ((x-1)(x+1))/(x+1) = x - 1`
(als
`x ≠ text(-)1`
).
`f'(x) = 1`
(als
`x ≠ text(-)1`
).
`f'(x) = (3x^2(1+x^4) - x^3*4x^3)/((1+x^4)^2) = (3x^2 - x^6)/((1 + x^4) ^2)`
`f'(x) = 0` geeft `3x^2 - x^6 = x^2 (3 - x^4) = 0` en dus `x = 0 vv x = +-root[4](3) ~~ +-1,32` .
GR: max. `f(1,32) ≈ 0,57` en min. `f(text(-)1,32 ) ≈ text(-)0,57` .
`f'(2 ) = text(-) 52/289`
en de raaklijn is dan van de vorm
`y = text(-)52/289 x + b`
.
De raaklijn gaat door
`(2, 8/17)`
.
Los
`b`
op uit
`8/17 = text(-)52/289*2 + b`
en de raaklijn wordt
`y = text(-)52/289 x + 240/289`
.
`f'(x) = (1*(x^2-16x) - (x+1)*(2x-16))/((x^2-16x)^2) = (text(-)x^2 - 2x + 16)/((x^2 - 16x)^2)`
`y'(x) = (0*(x^2-4x+5) - 1*(2x-4))/((x^2-4x+5)^2) = (text(-)2x + 4)/((x^2 -4x + 5)^2)`
`H'(t) = (1/sqrt(2t+6)*3t - sqrt(2t+6)*3)/((3t)^2) = (text(-)3t - 18)/(9t^2 sqrt(2t + 6))`
`GTK(q) = (2q^3 - 10q^2 + 60q + 120)/q = 2q^2 - 10q + 120/q`
`(text(d)GTK)/(text(d)q) = 4q - 10 - 120/(q^2)`
`A'(r) = (2*sqrt(4r+8) - 2r*(2)/(sqrt(4r+8)))/(4r+8) = (4r + 16)/((4r + 8)sqrt(4r + 8))`
`GO'(p) = 200 - 2000/(p^2)`
`f'(x) = (text(-)8x^2 - 24x + 32)/((x^2 + 4)^2) = 0` geeft `x = 1 vv x = text(-)4` .
Grafiek: min. `f(text(-)4) = text(-)1` en max. `f(1) = 4` .
`f(x) = (8x+12)/(x^2+4) = 3/2`
geeft
`16x+24 = 3x^2+12`
en hieruit volgt:
`3x^2-16x-12 = 0`
.
Oplossen van deze vergelijking geeft
`x = (16+-20)/6`
, dus
`x = text(-)2/3 vv x = 6`
.
Grafiek:
`x lt text(-)2/3 vv x gt 6`
.
De lijn door
`A(text(-)1,5; 0)`
en
`B(0, 3)`
is
`y = 2x + 3`
.
Deze lijn kan de grafiek alleen raken in
`A`
of
`B`
.
Nu is
`f'(text(-)1,5) ≠ 2`
en
`f'(0) = 2`
. Hieruit volgt dat lijn
`AB`
de grafiek in
`B`
raakt.
`f'(x) = (text(-)10x^2 + 80x - 100)/((x^2 - 10)^2)`
en dit gelijkstellen aan
`0`
geeft
`x ≈ 1,55 ∨ x ≈ 6,45`
.
Met behulp van de grafiek vind je: min.
`f(1,55) ≈ 3,22`
en max.
`f(6,45) ≈ 0,78`
.
In `P` is `f'(0) = text(-)1` , de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in `P` is `y = text(-)x + 4` .
`GTK = K/q` en dus krijg je:
`(4q^3 - 72q^2 + 600q + 2000)/q = (4q^3)/q - (72q^2)/q + (600q)/q + 2000/q`
En dit is gelijk aan `GTK = 4q^2 - 72q + 600 + 2000/q` .
`GTK(q) = 4q^2 - 72q + 600 + 2000q^(text(-)1)`
`GTK'(q) = 2*4q - 72 - 2000q^(text(-)2) = 8q - 72 - 2000/(q^2)`
Venster: `0 le x le 20` bij `0 le y le 3000` .
`GTK'(q) = 0` geeft `q = 11,05` . Aan de grafiek zie je dat `GTK` minimaal is als de maandproductie `1105` nietmachines is. Denk hierbij aan dat `q` in honderdtallen is gegeven!
`C'(t) = (16*(190t^2+60) - 16t*380t)/((190t^2 + 60)^2) = (960 - 3040t^2)/((190t^2 + 60)^2)`
`C'(t) = 0` geeft `t = sqrt(6/19) ≈ 0,562` uur. De concentratie werkzame stof is maximaal na circa `34` minuten.
(bron: examen vwo wiskunde A in 2012, eerste tijdvak)
Stel de breedte is
`x`
cm, dan is de lengte
`4x`
cm.
En dan is
`4x^2 h = 1000`
dus
`h = 250/(x^2)`
.
Hieruit volgt voor de lengte
`L`
van het lint:
`L(x) = 10x + 1000/(x^2)`
.
`L'(x) = 10 - 2000/(x^3) = 0`
geeft
`x^3 = 200`
en dus
`x ≈ 5,8`
cm.
Met behulp van de grafiek van
`L`
of een tekenschema van
`L'`
zie je dat
`L`
een minimum heeft voor
`x ≈ 5,8`
. De afmetingen van het doosje zijn dan:
`5,8 * 23,4 * 7,3`
(in cm).
`f'(x) = 3/((x - 1)^2)`
`g'(x) = (1 - 3x^2)/(2sqrt(x)*(1 + x^2)^2)`
`H'(t) = 1/((t + 1)^2)`
`y'(x) = (text(-)5x^6 + 5x^4 + 10x)/((1 + x^2)^6)`
`MK(q) = TK'(q) = q^2 - 10q + 40`
`MK(1) = 31`
. Dit getal is de hellingwaarde van de grafiek van
`TK`
voor
`q = 1`
.
Het betekent dat bij een dagproductie van
`10`
stuks de kostenstijging bij het opvoeren van de productie
`31`
euro per stuk is.
Bij een dagproductie van `50` eenheden.
`q = 7,5` .