Differentieerregels > De quotiëntregel
123456De quotiëntregel

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`f'(x)= (t'(x))/(n'(x)) = (10x^4)/(2x) = 5x^3`

Maar dit klopt niet, want `f(x) = 2x^3` met afgeleide `f'(x) = 6x^2` .

b

Bijvoorbeeld door die functie te schrijven als `f(x) = x^(text(-)1)` . De afgeleide wordt dan: `f'(x) = 1 x^(text(-)2) = 1/(x^2)` .

c

Je kunt de functie `f(x) = (t(x))/(n(x))` schrijven als `f(x) = t(x)*(n(x))^(text(-)1)` en dan differentiëren met de productregel en de kettingregel.

Opgave 1
a

`q(x) = 2x^5 * x^(text(-)2)` en `q'(x) = 10x^4 * x^(text(-)2) + 2x^5 * text(-)2x^(text(-)3) = 6x^2` .

b

`q'(x) = (10x^4 * x^2 - 2x^5 * 2x)/((x^2)^2) = (6x^6)/(x^4) = 6x^2` .

c

`f'(x) = (2x*(x-3) - x^2*1)/((x-3)^2) = (x^2-6x)/((x-3)^2)`

Het antwoord komt overeen met dat in de uitleg.

Opgave 2
a

`f'(x)= (1*(x - 2) - 1*x)/((x - 2)^2) = text(-)2/((x - 2)^2)`

b

Je kunt deze functie niet vereenvoudigen en werken met de productregel kan wel, maar levert meer werk op.

Opgave 3
a

`f'(x)= (1*x - 1*(x+1))/(x^2) = text(-)1/(x^2)`

b

`f(x) = 1 + 1/x = 1 + x^(text(-)1)` geeft `f'(x) = text(-)1 x^(text(-)2) = text(-)1/(x^2)` .
Als je handig bent met machten gaat de tweede manier bijna uit het hoofd.

Opgave 4
a

`f'(x) = ((2x + 1)*6x - (3x^2 - 4)*2)/((2x + 1)^2) = (6x^2 + 6x + 8)/((2x + 1)^2)`

b

`f(x) = 4(x - 2)^(text(-)2)`
`f'(x) = text(-)2*4(x - 2)^(text(-)3) = text(-)8/((x - 2)^3)`

c

`f(x) = (3x - 1)/((4 + x^2)^(1/2))`

`f'(x) = ((4+x^2)^(1/2)*3 - (3x-1)*1/2(4+x^2)^(text(-)1/2)*2x)/(4+x^2)`
`f'(x) = ((4+x^2)*3 - (3x-1)*2x)/((4+x^2)^(1 1/2))` (teller en noemer `xx (4+x^2)^(1/2)` )
`f'(x) = (12+2x-3x^2)/((4+x^2)sqrt(4+x^2))`

d

`f(x) = (x^2 - 1)/(x + 1) = ((x-1)(x+1))/(x+1) = x - 1` (als `x ≠ text(-)1` ).
`f'(x) = 1` (als `x ≠ text(-)1` ).

Opgave 5
a

`f'(x) = (3x^2(1+x^4) - x^3*4x^3)/((1+x^4)^2) = (3x^2 - x^6)/((1 + x^4) ^2)`

`f'(x) = 0` geeft `3x^2 - x^6 = x^2 (3 - x^4) = 0` en dus `x = 0 vv x = +-root[4](3) ~~ +-1,32` .

GR: max. `f(1,32) ≈ 0,57` en min. `f(text(-)1,32 ) ≈ text(-)0,57` .

b

`f'(2 ) = text(-) 52/289` en de raaklijn is dan van de vorm `y = text(-)52/289 x + b` .
De raaklijn gaat door `(2, 8/17)` .
Los `b` op uit `8/17 = text(-)52/289*2 + b` en de raaklijn wordt `y = text(-)52/289 x + 240/289` .

Opgave 6
a

`f'(x) = (1*(x^2-16x) - (x+1)*(2x-16))/((x^2-16x)^2) = (text(-)x^2 - 2x + 16)/((x^2 - 16x)^2)`

b

`y'(x) = (0*(x^2-4x+5) - 1*(2x-4))/((x^2-4x+5)^2) = (text(-)2x + 4)/((x^2 -4x + 5)^2)`

c

`H'(t) = (1/sqrt(2t+6)*3t - sqrt(2t+6)*3)/((3t)^2) = (text(-)3t - 18)/(9t^2 sqrt(2t + 6))`

d

`GTK(q) = (2q^3 - 10q^2 + 60q + 120)/q = 2q^2 - 10q + 120/q`
`(text(d)GTK)/(text(d)q) = 4q - 10 - 120/(q^2)`

e

`A'(r) = (2*sqrt(4r+8) - 2r*(2)/(sqrt(4r+8)))/(4r+8) = (4r + 16)/((4r + 8)sqrt(4r + 8))`

f

`GO'(p) = 200 - 2000/(p^2)`

Opgave 7
a

`f'(x) = (text(-)8x^2 - 24x + 32)/((x^2 + 4)^2) = 0` geeft `x = 1 vv x = text(-)4` .

Grafiek: min. `f(text(-)4) = text(-)1` en max. `f(1) = 4` .

b

`f(x) = (8x+12)/(x^2+4) = 3/2` geeft `16x+24 = 3x^2+12` en hieruit volgt: `3x^2-16x-12 = 0` .
Oplossen van deze vergelijking geeft `x = (16+-20)/6` , dus `x = text(-)2/3 vv x = 6` .
Grafiek: `x lt text(-)2/3 vv x gt 6` .

c

De lijn door `A(text(-)1,5; 0)` en `B(0, 3)` is `y = 2x + 3` .
Deze lijn kan de grafiek alleen raken in `A` of `B` .
Nu is `f'(text(-)1,5) ≠ 2` en `f'(0) = 2` . Hieruit volgt dat lijn `AB` de grafiek in `B` raakt.

Opgave 8
a

`f'(x) = (text(-)10x^2 + 80x - 100)/((x^2 - 10)^2)` en dit gelijkstellen aan `0` geeft `x ≈ 1,55 ∨ x ≈ 6,45` .
Met behulp van de grafiek vind je: min. `f(1,55) ≈ 3,22` en max. `f(6,45) ≈ 0,78` .

b

In `P` is `f'(0) = text(-)1` , de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek in `P` is `y = text(-)x + 4` .

Opgave 9
a

`GTK = K/q` en dus krijg je:

`(4q^3 - 72q^2 + 600q + 2000)/q = (4q^3)/q - (72q^2)/q + (600q)/q + 2000/q`

En dit is gelijk aan  `GTK = 4q^2 - 72q + 600 + 2000/q` .

b

`GTK(q) = 4q^2 - 72q + 600 + 2000q^(text(-)1)`

`GTK'(q) = 2*4q - 72 - 2000q^(text(-)2) = 8q - 72 - 2000/(q^2)`

c

Venster: `0 le x le 20` bij `0 le y le 3000` .

d

`GTK'(q) = 0` geeft `q = 11,05` . Aan de grafiek zie je dat `GTK` minimaal is als de maandproductie `1105` nietmachines is. Denk hierbij aan dat `q` in honderdtallen is gegeven!

Opgave 10PharmaCie
PharmaCie

`C'(t) = (16*(190t^2+60) - 16t*380t)/((190t^2 + 60)^2) = (960 - 3040t^2)/((190t^2 + 60)^2)`

`C'(t) = 0` geeft `t = sqrt(6/19) ≈ 0,562` uur. De concentratie werkzame stof is maximaal na circa `34` minuten.

(bron: examen vwo wiskunde A in 2012, eerste tijdvak)

Opgave 11Sierlinten
Sierlinten
a

Stel de breedte is `x` cm, dan is de lengte `4x` cm.
En dan is `4x^2 h = 1000` dus `h = 250/(x^2)` .
Hieruit volgt voor de lengte `L` van het lint: `L(x) = 10x + 1000/(x^2)` .

b

`L'(x) = 10 - 2000/(x^3) = 0` geeft `x^3 = 200` en dus `x ≈ 5,8` cm.
Met behulp van de grafiek van `L` of een tekenschema van `L'` zie je dat `L` een minimum heeft voor `x ≈ 5,8` . De afmetingen van het doosje zijn dan: `5,8 * 23,4 * 7,3` (in cm).

Opgave 12
a

`f'(x) = 3/((x - 1)^2)`

b

`g'(x) = (1 - 3x^2)/(2sqrt(x)*(1 + x^2)^2)`

c

`H'(t) = 1/((t + 1)^2)`

d

`y'(x) = (text(-)5x^6 + 5x^4 + 10x)/((1 + x^2)^6)`

Opgave 13
a

`MK(q) = TK'(q) = q^2 - 10q + 40`

b

`MK(1) = 31` . Dit getal is de hellingwaarde van de grafiek van `TK` voor `q = 1` .
Het betekent dat bij een dagproductie van `10` stuks de kostenstijging bij het opvoeren van de productie `31` euro per stuk is.

c

Bij een dagproductie van `50` eenheden.

d

`q = 7,5` .

verder | terug