Differentieerregels > Optimaliseren
123456Optimaliseren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie de Uitleg , maar probeer eerst zelf een oplossing te vinden. Hij stelt `x~~2,43` cm in.

Opgave 1
a

De hoogte van het bakje is: `x` .

De lengte van het bakje is: `20-2x` .

De breedte van het bakje is: `12-2x` .

`I = text(lengte)*text(breedte)*text(hoogte) = (12-2x)(20-2x)x` .

b

Er moet een lengte, een breedte en een hoogte zijn, dus `x gt 0` , `20-2x gt 0` en `12 - 2x gt 0` .

Dus `0 lt x lt 6` cm.

c

`I(x)=240 x-64 x^2+4 x^3` en `I'(x)=240 -128 x+12 x^2` .
`I'(x) = 0` levert op `x= (128-sqrt(4864)) /24 vv x= (128+sqrt(4864)) /24 ` .
De enige bruikbare waarde is `x≈2,43` .

Opgave 2
a

`I=πr^2 h = 1000` geeft `h = 1000/(pi r^2)` .

Daarmee wordt `A=2 πrh+2 πr^2 = 2pi r * 1000/(pi r^2) + 2pi r^2 = 2000/r + 2pi r^2` .

b

Voer in: `y_1=2000/x +2pi*x^2` en bepaal het minimum.
Dit zit in het punt `(5,4; 553,6)` .
Bij `r~~5,4` cm is de oppervlakte minimaal. De oppervlakte is dan `553,6` cm2.

c

`A'(r)=text(-)2000/r^2+4 πr`
`A'(r)=0` geeft `r^3=2000/ (4 π)` en hieruit volgt `r≈5,42` .

Opgave 3
a

Voor de totale winst `TW` is: `TW=TO-TK` met `TO` de totale opbrengst en `TK` de totale kosten. Omdat `TK` in `q` is uitgedrukt, wordt ook `TW` in `q` uitgedrukt:
`TW=p*q-(0,25 q^3-3 q^2+18 q+30 )`
Er geldt `q=text(-)3p+58,5` en hieruit volgt `3p=text(-)q+58,5` en `p=text(-)0,33q+19,5` .
Vul dit in:
`TW=p*q-(0,25 q^3-3 q^2+18 q+30 )`
Werk dit verder uit:
`TW =(19,5 -0,33q)*q-(0,25 q^3-3 q^2+18 q+30 )`
De winstfunctie wordt: `TW=-0,25 q^3+2,67q^2+1,5 q-30`

b

`TW'(q)=text(-)0,75 q^2+5 1/3q+1,5`
`TW'(q)=0` levert `q≈7,38` (de negatieve waarde vervalt).

Opgave 4
a

Deze kosten zijn constant (ze hangen niet af van de bestelgrootte), omdat het aantal producten dat wordt aangeschaft in een jaar constant is.

b

Noem de bestelgrootte `x` en ga ervan uit dat de winkelier jaarlijks `V` exemplaren koopt. Dan zijn:

  • de kosten voor alle bestellingen samen `B*V/x` ;

  • de voorraadkosten te berekenen door uit te gaan van het in voorraad hebben van de halve bestelgrootte (aan het begin van de periode alle exemplaren, aan het einde niets meer, dus gemiddeld de helft), ze bedragen daarom `1/2*x*E*P/100` . Voor de producten wordt `E*V` euro betaald aan de leverancier.

De totale kosten voor de winkelier zijn: `TK(x)=B*V/x+1/2x*E*P/100+E*V` .

c

`TK'(x)=text(-)(B*V) /(x^2) + (E*P) / (200) =0` geeft `(B*V) /(x^2)= (E*P) /200` en dit levert `E*P*x^2=200 *B*V` , zodat `x^2= (200 *B*V) / (E*P)` .
Negatieve waarden voor `x` zijn in dit verband onzinnig, dus moet `x=sqrt( (200 *B*V) / (E*P) )` het gewenste minimum opleveren.

Opgave 5
a

Noem de bestelgrootte `x` , dan zijn de bestelkosten: `B(x)=1500/x*15 =22500/x` .

b

De opslagkosten zijn `O(x)=1/2x*700 *0,09 =31,5 x` .

c

De totale kosten zijn `TK(x)=22500/x+31,5 x` .

d

`TK'(x)=text(-)22500/x^2+31,5 =0` geeft `x≈26,73` .
De optimale bestelgrootte is `27` stuks.

Opgave 6
a

Zie figuur.

b

De figuur is een rechthoek met lengte `x` en breedte `100/x` . Want lengte `xx` breedte is `100` .
De breedte van het bedrukte deel wordt `x-2` dm en de lengte `100/x-3` dm.

Dus: `A(x)=(x-2 )(100/x-3)` .

c

`A'(x)=text(-)3 +200/x^2`
`A'(x)=0` geeft `x^2=200/3` en hieruit volgt `x≈8,2` dm.

d

De breedte is `x~~8,2` dm.
De lengte is `100/x ~~ (100)/(8,2) = 12,2` dm.

De poster moet ongeveer `8,2` bij `12,2` dm worden.

Opgave 7

`ΔABC` is gelijkvormig met `ΔADE` , hieruit volgt `x/ ((x+1 )) =3/ (DE)` zodat `DE= (3 x+3) /x=3 +3/x` .
De lengte van de ladder is `L(x)=sqrt( (x+1 ) ^2+ (3 +3/x) ^2)` .
Bepaal met behulp van differentiëren het minimum van `l(x)= (x+1 ) ^2+ (3 +3/x) ^2` . Let erop dat het wortelteken geen invloed heeft op de `x` -waarde van dit minimum. Gebruik de kettingregel om `l'(x)` te bepalen en gelijk te stellen aan `0` .
`l'(x)=(2x+2-(18+18/x))/(x^2)=((2x^4+2x^3-18x-18))/(x^3)=((2x+2)(x^3-9))/x^3`
Los op: `((2x+2)(x^3-9))/x^3 = 0 `
Dit geeft `x~~2,08` , daarbij hoort een een minimale lengte van `L(2,08)=5,41` m.

Opgave 8

De bestelkosten per keer zijn € 10,00, de bestelgrootte is `x` .
De bestelkosten zijn `B(x)=1200/x*10 =12000/x` .
De opslagkosten zijn `O(x)=1/2x*35 *0,07 =1,225 x` .
De totale kosten zijn `TK(x)=12000/x+1,225 x` en `TK'(x)=text(-)12000/x^2+1,225 =0` geeft `x≈98,97` .
De optimale bestelgrootte is `99` exemplaren

Opgave 9
a

De grafiek bestaat uit twee delen: een lijnstuk van `(0, 40)` tot `(600, 196)` en dan een halve lijn vanaf `(600, 176)` en door `(700, 192)` .

b

Als `a < 600` is `K=40 +0,26 a` .
Als `a≥600` is `K=80 +0,16 a` .

c

`a=600`

d

Ze wilden graag een grootverbruikerstarief hebben. Bepalen van het snijpunt van de lijnen: `40 +0,26 a=80 +0,16 a` geeft `a=400` .

e

Vul `a=600` in beide formules in:
`K=40+0,26*600=196`
`K=80+0,16*600=176`
Het verschil in kosten is € 20,00.
Je moet het vastrecht met € 20,00 verhogen naar € 100,00.

f

De hellingen van beide lijnen zijn verschillend.

Opgave 10

Neem een kampeerplaats `x` bij `x` meter. Voor iedere plaats is dan nodig `x^2+20` m2. Omdat je over 1 hectare beschikt, kun je `10000/ ((x^2+20 ))` plaatsen aanleggen. De prijs per overnachting wordt `2 ,50 x+4 ,50` .
De totale opbrengst per nacht wordt `TO(x)=10000/ (x^2+20) *(2,50 x+4,50 )= (25000 x+450000) / (x^2+20)` .
Maximaliseer `TO` :
`TO'(x)= (text(-)25000 x^2-90000 x+500000) /(x^2+20 )^2 =0`
Dit geeft `x≈3,02` , (want de andere mogelijkheid vervalt).
Een kampeerplaats wordt ongeveer 3 m breed.

Opgave 11
a

`W(x)=text(-)400 x^2-1000 x+30000` .

b

De prijs moet dan `95` cent per pak zijn.

De omzet is dan `875` pakken.

c

Nee, het zou zelfs beter zijn de prijs te verhogen. Je hebt namelijk net uitgerekend dat de ideale prijs `95` cent is. Hoger maken die prijs dus!

Opgave 12

Ongeveer `62` bij `81` m grond kopen.

verder | terug