Differentieerregels > Optimaliseren
123456Optimaliseren

Voorbeeld 2

ChemoTech brengt een nieuw onkruidbestrijdingsmiddel CHIF op de markt. De productiekosten zijn bekend, er is een kostenmodel voorhanden:

`TK=0,25 q^3-3 q^2+18 q+30`

Hierin stelt `q` het aantal geproduceerde kilogram (in duizendtallen) CHIF voor en `TK` de totale kosten in duizenden euro.

Voor de opbrengst gelden de volgende aannames.

  • Bij een prijs van € 18,00 per kilogram zal de verkoop `4500` kilogram zijn.

  • Bij een prijs van € 9,00 per kilogram zal de verkoop `31500` kilogram zijn.

De verkochte hoeveelheid `q` hangt lineair af van de prijs `p` .

Welke winst kan ChemoTech met dit product maximaal maken?

> antwoord

Stel een rekenmodel op.

  • Doe aannames.
    ChemoTech produceert alleen bestrijdingsmiddel als het ook wordt verkocht.

  • Bepaal welke variabele(n) van belang zijn.
    De winst. Noem die `TW` .
    De prijs `p` in euro/kg, de verkochte hoeveelheid `q` per `1000` kg, de totale opbrengst `TO` per `1000` euro, de totale kosten `TK` per `1000` euro.

  • Stel formules op.
    Er geldt: `TW=TO-TK` , `TO=p*q` en `TK=0,25 q^3-3 q^2+18 q+30` .
    De verkoop `q` hangt lineair af van de prijs `p` : `q=a*p+b` .
    De grafiek hiervan gaat door `(9; 31,5)` en `(18; 4,5)` .
    Daaruit volgt: `q=text(-)3 p+58,5` .

  • Zorg dat er één formule met twee variabelen overblijft.
    `TW=TO-TK` geeft: `TW=p*q-(0,25 q^3-3 q^2+18 q+30)`
    Nu zijn er nog drie variabelen. `p` komt het minst vaak voor, werk die weg.
    Als `q=text(-)3 p+58,5` , dan geldt `p=19,5 -0,33q` .

    Vul dit in in de formule voor `TW` en dit geeft: `TW=text(-)0,25 q^3+2,67q^2+1,5 q-30` .

De maximale winst is € 25821,59. Dit is te vinden met behulp van differentiëren, met de grafische rekenmachine of met dit kostenmodel in Excel.

Opgave 3

Gebruik de gegevens uit het Voorbeeld 2.

a

Begin met de formule `TW=TO-TK` en leid de formule voor de totale winst `TW=text(-)0,25 q^3+2 ,67q^2+1,5 q-30` af.

b

Bereken met behulp van differentiëren voor welke `q` de waarde van `TW` maximaal is.

verder | terug