Differentieerregels > Toepassingen
123456Toepassingen

Voorbeeld 3

Een winkelier die een product wil verkopen moet daarvan voldoende in voorraad hebben. Hij bestelt dit product bij de fabrikant. Daarvoor betaalt hij bestelkosten. Hoe vaker hij bestelt, hoe hoger de bestelkosten. Aan de andere kant, als hij niet vaak bestelt, dan moet hij zelf een grotere voorraad aanhouden en daarvoor maakt hij voorraadkosten.
Stel je voor dat de jaarlijkse vraag `V` exemplaren bedraagt, de bestelkosten `B` euro per bestelling zijn, elk exemplaar `E` euro kost en dat de voorraadkosten `P` procent van de kostprijs van de gemiddelde voorraad bedragen. De winkelier doet een aantal bestellingen per jaar van steeds evenveel exemplaren. Welke bestelgrootte is het gunstigst voor hem?

> antwoord

Stel een rekenmodel op.

  • Doe aannames.
    De leverancier bestelt als zijn voorraad op is en de levertijd is erg kort. Gunstig betekent: de bestelkosten plus de voorraadkosten zijn bij elkaar zo laag mogelijk.

  • Bepaal van welke variabele(n) je de waarde(n) moet berekenen.
    De bestelgrootte, noem deze `x` .

  • Bepaal welke grootheden verder van belang zijn.
    De jaarlijkse vraag `V` .
    De bestelkosten per bestelling `B` .
    De kosten per product `E` .
    De voorraadkosten `P/100*text(kosten van de producten die gemiddeld op voorraad zijn)` .
    De bestelkosten + de voorraadkosten, noem deze `TK` .

  • Stel formules op.
    Het aantal bestellingen is: `V/x`
    De bestelkosten zijn: `B*V/x`
    Het gemiddeld aantal producten op voorraad: direct na bestellen zijn er `x` , net voor de volgende keer bestellen zijn er 0, dus gemiddeld `1/2*x`
    De voorraadkosten zijn: `1/2*x*E*P/100`
    Er zijn geen verdere gegevens, de formule voor de totale kosten is:
    `TK=B*V/x+1/2x*E*P/100+E*V`

  • Zorg dat er één formule met twee variabelen overblijft.
    Zo'n formule is er nu, maar daarvan moet het minimum worden berekend. Omdat er onbekende constanten zijn, kan dat alleen met differentiëren.

Nu is: `(text(d)TK) / (text(d)x) =text(-)B*V/x^2+ (E*P) /200`
Gelijkstellen aan `0` : `(text(d)TK) / (text(d)x) =0` geeft `x=sqrt( (200 *B*V) / (E*P))` .
Bij deze waarde van de bestelgrootte zijn zijn kosten minimaal.

Opgave 8

Gebruik de gegevens uit het voorbeeld.

a

Leg uit waarom je geen rekening hoeft te houden met de kosten voor het aanschaffen van de producten.

b

Leid zelf nog een keer de formule voor de totale kosten `TK` af.

c

Laat met behulp van differentiëren zien dat een bestelgrootte van `x=sqrt( (200 *B*V) / (E*P) )` de minste kosten voor de winkelier oplevert.

Opgave 9

Een bedrijf brengt droogtrommels op de markt. Er is een vraag naar droogtrommels van `1500` stuks per jaar. Voor de opslagkosten moet je rekenen met een rentepercentage van `9` %. De productieprijs is € 700,00 en de prijs voor het plaatsen van een bestelling is € 15,00.

a

Stel een formule op voor het verband tussen de totale bestelkosten en de bestelgrootte.

b

Stel een formule op voor het verband tussen de opslagkosten en de bestelgrootte.

c

Stel een formule op voor het verband tussen de totale kosten en de bestelgrootte.

d

Bereken de optimale bestelgrootte.

verder | terug