Differentieerregels > Optimaliseren
123456Optimaliseren

Uitleg

Een industrieel ontwerper ontwikkelt een type opbergbakje dat zuiver rechthoekige zijvlakken heeft. Het is van boven open en wordt gemaakt uit dunne rechthoekige plaatjes staal van `12` centimeter bij `20` centimeter. Deze worden door een machine in de gewenste vorm gevouwen. De vierkantjes op de hoeken van een plaatje staal worden daarbij dubbelgevouwen en naar binnen geklapt. De bakjes krijgen een vlakke kunststof deksel die precies de bovenzijde afsluit.
De afmeting van de vierkantjes (de lengte van een zijde ervan) stelt hij zo vast dat de inhoud van de bakjes zelf zo groot mogelijk wordt.

Welke afmeting kiest hij voor de zijden van de vierkantjes?

Om dit probleem op te lossen maak je een geschikt wiskundig rekenmodel.

  • Doe aannames.
    De zijvlakken en bodem zijn rechthoekig (want er wordt uit een rechthoek gevouwen en op de hoeken zitten vierkantjes). Alle zijkanten zijn even hoog (want op de hoeken zitten vierkantjes).

  • Bepaal van welke variabele(n) een rol spelen.
    De afmeting van de vierkantjes, dit is ook de hoogte van het bakje, noem deze `x` .
    De inhoud, want die moet maximaal zijn. Noem deze `I` .

  • Stel formules op.
    Voor de inhoud `I` van het bakje geldt: `I=text(lengte)*text(breedte)*text(hoogte)` .
    Vul hiervoor uitdrukkingen in `x` in.

  • Zorg dat er één formule met twee variabelen overblijft.
    Je vindt `I=(12-2x)(20-2x)x` .

De aannames plus de formule vormen je wiskundige model.
De maximale inhoud vind je met de grafische rekenmachine of met behulp van differentiëren.
Ga na dat voor `x≈2,43` centimeter de inhoud maximaal is. De maximale inhoud is ongeveer gelijk aan `263` kubieke centimeter.

Opgave 1

Gebruik de gegevens uit de Uitleg .

a

Laat zien hoe je aan de formule voor de inhoud `I(x)` van het bakje komt.

b

Welke waarden kan `x` aannemen?

c

Bepaal de afgeleide van `I(x)` en bereken met behulp daarvan de waarde van `x` waarvoor `I` maximaal is.

verder | terug