Differentieerregels > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

`f'(x) = x/(sqrt(x^2 + 1))`

b

`f'(x) = 4sqrt(x^2 + 1) + (4x^2)/(sqrt(x^2 + 1))`

c

`f'(x) = (text(-)4x^2 + 4)/((x^2 + 1)^2)`

d

`f'(x) = 1/4 - 1/(4x^2)`

e

`f'(x) = 4/((x^2 + 1)sqrt(x^2 + 1))`

Opgave 2
a

`f'(x) = (text(-)15x^2 + 540)/((x^2 + 36)^2) = 0` geeft `x = text(-)6 vv x = 6` .
Een tekenschema van `f'` of de grafiek van `f` geeft: min. `f(text(-)6) = text(-)1,25` en max. `f(6) = 1,25` .

b

`f(3) = 1` en `f'(3) = 0,2` . De raaklijn heeft de vergelijking `y = 0,2x + 0,4` en `A = (0; 0, 4)` .

c

De grafiek gaat door `(0, 0)` .
`a = f'(0) = 540/(36^2) = 5/12`

Opgave 3
a

Uit voorwaarde `4x^2 - x^3 ≥ 0` volgt `D_(f) = ⟨←, 4]` .

b

`f'(x) = (8x - 3x^2)/(2 sqrt(4x^2 - x^3)) = 0` geeft `x = 0 ∨ x = 8/3` .
Uit de grafiek blijkt: min. `f(0) = 0` , max. `f(8/3) ≈ 3,08` en randmin. `f(4) = 0` .

c

`f'(0)` heeft geen reële uitkomst.

d

Los op: `sqrt(4x^2 - x^3) = 2x` . Dit geeft als enige antwoord `x = 0` .
Hetzelfde geldt voor `sqrt(4x^2 - x^3) = text(-)2x` .

Opgave 4
a

`K'(x) = (text(-)10000b)/(x^2) + (3cx^2)/125 = 0` geeft `x = root[4]((1250000b)/(3c))` .
Omdat `b` en `c` positief moeten zijn, komt hier ook precies één positief antwoord uit.
Verder is voor positieve `x` dichtbij `0` de waarde van `K'` negatief en voor hele grote waarden van `x` de waarde van `K'` juist positief. De conclusie is dat er inderdaad van een minimum sprake is.

b

`K'(x) = text(-)30000/(x^2) + 24x^2 = 0` geeft `x ≈ 5,95` .
De kosten zijn minimaal bij een drainageafstand van ongeveer `5,95` m.

c

€ 5625,24

Opgave 5
a

`t = (AK)/(v_s) + (KB)/(v_z)`

b

`t(x) = (sqrt(x^2 + 50^2))/6 + (sqrt((100 - x)^2 + 20^2))/(1,5)`

c

`t'(x) = x/(6 sqrt(x^2 + 2500)) + (text(-)200 + 2x)/(3 sqrt(10400 - 200x + x^2)) = 0`
Deze vergelijking is alleen met de grafische rekenmachine op te lossen: `x ≈ 95,6` m.
De bijbehorende minimale tijd is ongeveer `31,6` seconden.

d

Met het voorgaande antwoord bereken je de afstanden `AK` en `BK` . `AK ≈ 107,89`  m en `BK ≈ 20,48`  m. De totale afstand is ongeveer `128,37`  m.

Opgave 6File
File

Eerst alle eenheden gelijk maken: als `v` in m/s, dan is `R = 3/4*((3,6v)/10)^2 = 0,0972 v^2` .
Noem het aantal auto's per minuut `A` .
Bij elke auto hoort een totale lengte van `4 + R = 4 + 0,0972v^2` m.
Daarvoor is een tijd nodig van `t = (4 + 0,972v^2)/v` s.
Per minuut kunnen er dus `A(v) = (3600v)/(4 + 0,972v^2)` auto's doorstromen.
`A(v)` wil je maximaliseren. `A'(v) = (14400 - 349,92v^2)/((4 + 0,0972 v^2)^2) = 0` geeft `v ≈ 6,415` m/s.
De optimale doorstroomsnelheid is dan ongeveer `23` km/h.

Opgave 7Energieverbruik van vissen
Energieverbruik van vissen
a

De vis doet over de `5` km `2,5` uur, dus `t = 2,5` . Bekend is `v = 2` . Invullen in `E = 0,15 v^3t` , geeft `E = 3` . Energieverbruik is `3` J.

b

De vis legt `v-s` km af in `1` uur. Over de tocht van `a` km doet hij dan: `t=a/ (v-s)`  uur.
Dus `a = t(v-s)` . Het energieverbruik over een tocht van `a` km is `E = cv^3 t` . Het energieverbruik per km is: `E/a = (cv^3 t)/(t(v-s)) = (cv^3)/(v-s)` .

c

`4,2875` J.

d

`U' = (3cv^2 (v-s) - cv^3)/((v-s)^2) = 0` als `2cv^3 - 3cv^2 s = 0` , dus als `s = 3/2 v` .

Opgave 8Autobanden
Autobanden
a

Gemiddeld zijn er `180` banden in voorraad en `180 * 180 = 32400` .

b

De gemiddelde voorraadkosten per band zijn `32400/4500 = 7,20` euro.
De gemiddelde leveringskosten per band zijn `3500/360 = 9,72` euro.
De gemiddelde winst per band is `70 - 30 - 7,20 - 9,72 = 23,08` euro.

c

De bruto winst per band is `70 - 30 = 40` euro.
De totale voorraadkosten zijn `1/2 x * 180` euro.
De gemiddelde voorraadkosten per band zijn `(1/2 x * 180)/4500` euro.
De leveringskosten per band zijn `3500/x` euro.
De "netto" winst per band is dus `40 - 3500/x + 0,02x` euro.

d

`W'(x) = 3500/(x^2) - 0,02 = 0` geeft `x ≈ 418,3` .
Met behulp van een grafiek van `W` of tekenschema van `W'` vind je dat `W` een maximum heeft bij `x = 418` banden per bestelling.

(bron: examen wiskunde A1,2 vwo 2004, eerste tijdvak)

Opgave 9Wegverlichting
Wegverlichting
a

`S_P = 50` geeft `r ≈ 12,6` .
En dus is `x ≈ sqrt((12,6)^2 - 10^2) ≈ 7,7` m. Dat is `77` dm.

b

Vul `r = sqrt(100 + x^2)` in de formule voor `S` in en bepaal dan de afgeleide.

c

Bij `x = 5` daalt de grafiek snel, `s'(5) ≈ text(-)8,59 < text(-)8` .
Dus inderdaad is er een punt waar `(text(d)S)/(text(d)x)` kleiner is dan `text(-)8` lux/m.

(bron: examen wiskunde A vwo 1998, eerste tijdvak)

Opgave 10Sportprestaties
Sportprestaties
a

`880,2 = 111960/t - 1433,5` geeft `t ≈ 48,39` .

b

Voer in de GR in `P = 190,2 sqrt(r) - 711,3` en `P = 10,14 * (r - 7)^(1,08)` en stel een geschikt venster in.
Bij `r ≈ 23,27` en `r ≈ 67,38` zitten de snijpunten van deze grafieken.
Met behulp van de grafieken op de GR vind je `23,27 < r < 67,38` .

c

`P'(r) = a/(2 sqrt(r))` .
Voor toenemende `r` neemt `sqrt(r)` ook toe en `1/(2 sqrt(r))` dus af. Omdat `a gt 0` neemt daarom ook `P'` af.
Omdat `P'(r) gt 0` en bij toenemend `r` steeds kleiner wordt, neemt de stijging van `P(r)` af.

(bron: examen wiskunde A vwo 2003, eerste tijdvak)

verder | terug