`f'(x) = x/(sqrt(x^2 + 1))`
`f'(x) = 4sqrt(x^2 + 1) + (4x^2)/(sqrt(x^2 + 1))`
`f'(x) = (text(-)4x^2 + 4)/((x^2 + 1)^2)`
`f'(x) = 1/4 - 1/(4x^2)`
`f'(x) = 4/((x^2 + 1)sqrt(x^2 + 1))`
`f'(x) = (text(-)15x^2 + 540)/((x^2 + 36)^2) = 0`
geeft
`x = text(-)6 vv x = 6`
.
Een tekenschema van
`f'`
of de grafiek van
`f`
geeft: min.
`f(text(-)6) = text(-)1,25`
en max.
`f(6) = 1,25`
.
`f(3) = 1` en `f'(3) = 0,2` . De raaklijn heeft de vergelijking `y = 0,2x + 0,4` en `A = (0; 0, 4)` .
De grafiek gaat door
`(0, 0)`
.
`a = f'(0) = 540/(36^2) = 5/12`
Uit voorwaarde `4x^2 - x^3 ≥ 0` volgt `D_(f) = ⟨←, 4]` .
`f'(x) = (8x - 3x^2)/(2 sqrt(4x^2 - x^3)) = 0`
geeft
`x = 0 ∨ x = 8/3`
.
Uit de grafiek blijkt: min.
`f(0) = 0`
, max.
`f(8/3) ≈ 3,08`
en randmin.
`f(4) = 0`
.
`f'(0)` heeft geen reële uitkomst.
Los op:
`sqrt(4x^2 - x^3) = 2x`
. Dit geeft als enige antwoord
`x = 0`
.
Hetzelfde geldt voor
`sqrt(4x^2 - x^3) = text(-)2x`
.
`K'(x) = (text(-)10000b)/(x^2) + (3cx^2)/125 = 0`
geeft
`x = root[4]((1250000b)/(3c))`
.
Omdat
`b`
en
`c`
positief moeten zijn, komt hier ook precies één positief antwoord uit.
Verder is voor positieve
`x`
dichtbij
`0`
de waarde van
`K'`
negatief en voor hele grote waarden van
`x`
de waarde van
`K'`
juist positief. De conclusie is dat er inderdaad van een minimum sprake is.
`K'(x) = text(-)30000/(x^2) + 24x^2 = 0`
geeft
`x ≈ 5,95`
.
De kosten zijn minimaal bij een drainageafstand van ongeveer
`5,95`
m.
€ 5625,24
`t = (AK)/(v_s) + (KB)/(v_z)`
`t(x) = (sqrt(x^2 + 50^2))/6 + (sqrt((100 - x)^2 + 20^2))/(1,5)`
`t'(x) = x/(6 sqrt(x^2 + 2500)) + (text(-)200 + 2x)/(3 sqrt(10400 - 200x + x^2)) =
0`
Deze vergelijking is alleen met de grafische rekenmachine op te lossen:
`x ≈ 95,6`
m.
De bijbehorende minimale tijd is ongeveer
`31,6`
seconden.
Met het voorgaande antwoord bereken je de afstanden `AK` en `BK` . `AK ≈ 107,89` m en `BK ≈ 20,48` m. De totale afstand is ongeveer `128,37` m.
Eerst alle eenheden gelijk maken: als
`v`
in m/s, dan is
`R = 3/4*((3,6v)/10)^2 = 0,0972 v^2`
.
Noem het aantal auto's per minuut
`A`
.
Bij elke auto hoort een totale lengte van
`4 + R = 4 + 0,0972v^2`
m.
Daarvoor is een tijd nodig van
`t = (4 + 0,972v^2)/v`
s.
Per minuut kunnen er dus
`A(v) = (3600v)/(4 + 0,972v^2)`
auto's doorstromen.
`A(v)`
wil je maximaliseren.
`A'(v) = (14400 - 349,92v^2)/((4 + 0,0972 v^2)^2) = 0`
geeft
`v ≈ 6,415`
m/s.
De optimale doorstroomsnelheid is dan ongeveer
`23`
km/h.
De vis doet over de `5` km `2,5` uur, dus `t = 2,5` . Bekend is `v = 2` . Invullen in `E = 0,15 v^3t` , geeft `E = 3` . Energieverbruik is `3` J.
De vis legt
`v-s`
km af in
`1`
uur. Over de tocht van
`a`
km doet hij dan:
`t=a/ (v-s)`
uur.
Dus
`a = t(v-s)`
. Het energieverbruik over een tocht van
`a`
km is
`E = cv^3 t`
. Het energieverbruik per km is:
`E/a = (cv^3 t)/(t(v-s)) = (cv^3)/(v-s)`
.
`4,2875` J.
`U' = (3cv^2 (v-s) - cv^3)/((v-s)^2) = 0` als `2cv^3 - 3cv^2 s = 0` , dus als `s = 3/2 v` .
Gemiddeld zijn er `180` banden in voorraad en `180 * 180 = 32400` .
De gemiddelde voorraadkosten per band zijn
`32400/4500 = 7,20`
euro.
De gemiddelde leveringskosten per band zijn
`3500/360 = 9,72`
euro.
De gemiddelde winst per band is
`70 - 30 - 7,20 - 9,72 = 23,08`
euro.
De bruto winst per band is
`70 - 30 = 40`
euro.
De totale voorraadkosten zijn
`1/2 x * 180`
euro.
De gemiddelde voorraadkosten per band zijn
`(1/2 x * 180)/4500`
euro.
De leveringskosten per band zijn
`3500/x`
euro.
De
"netto"
winst per band is dus
`40 - 3500/x + 0,02x`
euro.
`W'(x) = 3500/(x^2) - 0,02 = 0`
geeft
`x ≈ 418,3`
.
Met behulp van een grafiek van
`W`
of tekenschema van
`W'`
vind je dat
`W`
een maximum heeft bij
`x = 418`
banden per bestelling.
(bron: examen wiskunde A1,2 vwo 2004, eerste tijdvak)
`S_P = 50`
geeft
`r ≈ 12,6`
.
En dus is
`x ≈ sqrt((12,6)^2 - 10^2) ≈ 7,7`
m. Dat is
`77`
dm.
Vul `r = sqrt(100 + x^2)` in de formule voor `S` in en bepaal dan de afgeleide.
Bij
`x = 5`
daalt de grafiek snel,
`s'(5) ≈ text(-)8,59 < text(-)8`
.
Dus inderdaad is er een punt waar
`(text(d)S)/(text(d)x)`
kleiner is dan
`text(-)8`
lux/m.
(bron: examen wiskunde A vwo 1998, eerste tijdvak)
`880,2 = 111960/t - 1433,5` geeft `t ≈ 48,39` .
Voer in de GR in
`P = 190,2 sqrt(r) - 711,3`
en
`P = 10,14 * (r - 7)^(1,08)`
en stel een geschikt venster in.
Bij
`r ≈ 23,27`
en
`r ≈ 67,38`
zitten de snijpunten van deze grafieken.
Met behulp van de grafieken op de GR vind je
`23,27 < r < 67,38`
.
`P'(r) = a/(2 sqrt(r))`
.
Voor toenemende
`r`
neemt
`sqrt(r)`
ook toe en
`1/(2 sqrt(r))`
dus af. Omdat
`a gt 0`
neemt daarom ook
`P'`
af.
Omdat
`P'(r) gt 0`
en bij toenemend
`r`
steeds kleiner wordt, neemt de stijging van
`P(r)`
af.
(bron: examen wiskunde A vwo 2003, eerste tijdvak)