Differentieerregels > TotaalbeeldToepassen
Als in een min of meer constante stroom auto's met ongeveer dezelfde snelheid wordt geremd, kan er een file ontstaan.
Bekijk deze file-simulatie (een Java-applet).
Stel je nu voor dat door werkzaamheden een rijstrook op de snelweg is afgesloten.
Bij het invoegen van auto's naar één rijstrook moet vaak onhandig worden gemanoeuvreerd,
zodat het verkeer moet afremmen of zelfs stil moet staan. Dit is het moment dat een
file ontstaat. Zo'n file is niet nodig als iedereen tijdig de juiste doorstroomsnelheid
kiest. Daarbij gaat het erom dat zoveel mogelijk auto's per tijdseenheid de wegversmalling
passeren. Neem aan dat alle auto's
`4`
m lang zijn en hun onderlinge afstand precies de remweg
`R`
(in meter) is. Deze remweg hangt af van de snelheid
`v`
(in km/h).
Er geldt bij benadering:
`R=3/4* (v/10)^2`
.
De verkeersdienst zet een teller halverwege de wegversmalling die meet hoeveel auto's
er per minuut passeren. Stel nu een formule op voor het aantal auto's dat per minuut
de teller passeert.
Bereken met behulp van differentiëren bij welke snelheid zoveel mogelijk auto's de teller passeren.
Het energieverbruik van een vis tijdens een zwemtochtje in stilstaand water is recht evenredig met de tijd `t` en met de derde macht van zijn snelheid door het water:
`E = c*v^3*t`
Hierin is:
-
`E` het energieverbruik in J (Joule),
-
`v` de snelheid van de vis ten opzichte van het water in km/h,
-
`t` de tijd in uren,
-
`c` de evenredigheidsconstante is.
Neem aan dat `c=0,15` . Bereken het energieverbruik van een vis die in stilstaand water een afstand van `5` km aflegt met een snelheid van `2` km/h.
Toon aan dat het energieverbruik per afgelegde kilometer ten opzichte van de oever van een stroomopwaarts zwemmende vis gelijk is aan:
`U = c*(v^3)/(v-s)`
als `s` de stroomsnelheid van het water in km/h is.
Neem weer aan dat `c = 0,15` . Bereken het energieverbruik van een vis die in een rivier stroomopwaarts een afstand van `5` km (ten opzichte van de oever) aflegt met een snelheid van `3,5` km/h ten opzichte van het water dat met een snelheid van `2` km/h stroomt.
Verklaar waarom zalmen de rivier op trekken met een gemiddelde snelheid ten opzichte van het water van `1,5` maal de stroomsnelheid, door aan te tonen dat hun energieverbruik dan minimaal is.