Differentieerregels > TotaalbeeldExamenopgaven
De firma Nedtyre verkoopt een speciaal type autobanden aan garages, bandenspecialisten en autospeciaalzaken. Jaarlijks verkoopt Nedtyre `4500` banden van dit type. Nedtyre koopt deze banden in bij de Italiaanse bandenfabriek Carrelli. Om de voorraad op peil te houden doet Nedtyre steeds bestellingen van `360` banden. We nemen aan dat de verkoop gelijkmatig over het jaar verdeeld is. Men zorgt ervoor dat de nieuwe bestelling telkens precies arriveert op het moment dat er geen banden meer in voorraad zijn. Dan zit er telkens `0,08` jaar, dus iets minder dan een maand, tussen twee opeenvolgende bestellingen. De voorraad autobanden verloopt volgens de grafiek in deze figuur.
De voorraadkosten zijn evenredig met het aantal banden dat in voorraad is. De kosten om een band een jaar lang in voorraad te houden bedragen € 180.
Toon aan dat de totale voorraadkosten volgens dit model € 32400 per jaar bedragen.
De banden worden door Nedtyre voor € 70 per stuk verkocht. De inkoopprijs die Nedtyre betaalt, is € 30 per band. Bij het berekenen van de winst moet ook rekening worden gehouden met bovengenoemde voorraadkosten en met de leveringskosten. Deze leveringskosten bedragen € 3500 per bestelling.
Laat met een berekening zien dat uit het voorgaande volgt dat Nedtyre gemiddeld per band een winst van ongeveer € 23,08 maakt. Je mag hierbij geen gebruik maken van de formule die later in deze opgave vermeld wordt.
De leveringskosten van € 3500 gelden voor elke bestelling, ongeacht het aantal bestelde banden. Ook het jaarlijks verkochte aantal van `4500` banden blijft voortdurend gelijk. Nedtyre wil nu onderzoeken of de gemiddelde winst per band verhoogd kan worden door in plaats van `360` banden een ander aantal banden per keer te bestellen. Hierdoor zouden de totale kosten af kunnen nemen. Men maakt de volgende formule:
`W = 40 - 3500/x + 0,02x`
Hierin is `W` de gemiddelde winst per band in euro’s en `x` de bestelgrootte (het aantal banden dat telkens wordt besteld).
Toon aan dat deze formule voor iedere bestelgrootte `x` juist is.
Nedtyre wil zo veel mogelijk winst per band maken. Stel de afgeleide van `W` op en bereken met behulp daarvan bij welke bestelgrootte `x` de gemiddelde winst per band maximaal is.
(bron: examen wiskunde A1,2 vwo 2004, eerste tijdvak)
Een belangrijke eis die aan wegverlichting gesteld wordt, is dat er overal langs de te verlichten weg ongeveer even licht is, en niet bijvoorbeeld halverwege tussen twee lampen veel donkerder dan vlak onder een lamp. Om aan te geven hoe licht het op een bepaalde plaats is, gebruikt men het begrip "verlichtingssterkte" (gemeten in lux). Voor het berekenen van de lichtsterkte bij één lamp gebruikt men het volgende model. Uitgangspunt is een lamp die op `10` m hoogte boven het wegdek hangt en waarvan het licht zich in alle richtingen naar beneden kan verspreiden. Zie de figuur. De afstand van de lamp tot een punt `P` op het wegdek noemen we `r` (in meters). De verlichtingssterkte in punt `P` noemen we `S` (in lux). Voor `S` geldt:
`S = 100000/(r^3)`
Punt `A` bevindt zich recht onder de lamp, `x` is de afstand in meters tussen punt `A` en punt `P` .
Bereken `x` als de verlichtingssterkte in `P` de helft is van die in `A` . Rond het antwoord af op gehele decimeters.
Men kan `S` ook als functie van `x` opvatten. De afgeleide functie `(text(d)S)/(text(d)x)` is een maat voor de verandering van de verlichtingssterkte (in lux/meter) als men zich over het wegdek van punt `A` verwijdert. Er geldt:
`(text(d)S)/(text(d)x) = (text(-)300000x)/((100 + x^2)^2 sqrt(100 + x^2))` .
Toon dit aan.
In de figuur zie je de grafiek van `S` als functie van `x` getekend. Iemand vraagt zich af of er een punt is waar `(text(d)S)/(text(d)x)` kleiner is dan `text(-)8` lux/m. Hij probeert vergeefs deze vraag te beantwoorden door een vergelijking op te lossen. Met behulp van deze figuur en de formule voor `(text(d)S)/(text(d)x)` is echter snel na te gaan dat er inderdaad zo’n punt bestaat.
Laat dit zien.
(bron: examen wiskunde A vwo 1998, eerste tijdvak)
In de atletiek kent men verschillende onderdelen. De ene atleet is goed in hardlopen, de andere atleet in hoogspringen of speerwerpen. Iemand die de `100` meter binnen de `11` seconden loopt is een goede sprinter, terwijl iemand die met een polsstok hoger springt dan `5` meter een goede polsstokhoogspringer is. Men kan zich afvragen wie van de twee de betere atleet is. Om prestaties bij verschillende atletiekonderdelen te kunnen vergelijken, hanteert de Koninklijke Nederlandse Atletiek Unie (KNAU) een puntensysteem. Met dit systeem worden sportprestaties omgerekend tot een aantal punten met behulp van verschillende formules. Vanzelfsprekend hoort bij een betere prestatie een groter aantal punten. Zie tabel.
| KNAU-puntensysteem voor mannen | ||||
| soort sport | formule | onderdeel | `a` | `b` |
| loop- nummers |
`P = a/t - b` | 100 m | 29950 | 1881,5 |
| 200 m | 52611,4 | 1547,1 | ||
| 400 m | 111960 | 1433,5 | ||
| 800 m | 248544 | 1323,2 | ||
| 1500 m | 489971,4 | 1224,7 | ||
| 3000 m | 1077300 | 1234,9 | ||
| spring- nummers |
`P = a sqrt(r) - b` | hoogspringen | 2440 | 2593,5 |
| verspringen | 1094,4 | 2075,3 | ||
| hinkstapsprong | 762,9 | 2074,5 | ||
| polsstokhoogspringen | 1040 | 1272,5 | ||
| werp- nummers |
`P = a sqrt(r) - b` | kogelstoten | 462,5 | 1001,8 |
| discuswerpen | 249,8 | 893,5 | ||
| speerwerpen | 190,2 | 711,3 | ||
Voor vrouwen hanteert de KNAU een vergelijkbare tabel.
In deze tabel lezen we af dat voor hardlopen het behaalde aantal punten
`P`
wordt berekend met de formule
`P = a/t - b`
.
Hierbij is
`t`
de tijd in seconden die de atleet nodig heeft om de afstand te lopen. De getallen
`a`
en
`b`
worden afgelezen in de betreffende kolommen.
Als een man de
`100`
meter in
`10,70`
seconden loopt, dan heeft hij daarmee
`880,2`
punten behaald.
Bereken hoeveel seconden, in
`2`
decimalen nauwkeurig, een man over de
`400`
meter moet doen om ook
`880,2`
punten te behalen.
Voor de spring- en werpnummers wordt door de KNAU de formule
`P = a sqrt(r) - b`
gebruikt.
Hierin is
`r`
de gesprongen hoogte of afstand in meters of de geworpen afstand in meters. Zie tabel.
De International Association of Athletics Federations (IAAF) kent ook een puntensysteem.
Voor het berekenen van de punten gebruikt de IAAF andere formules dan de KNAU. Bij
het speerwerpen voor mannen ziet de IAAF-formule er als volgt uit:
`P = 10,14 * (r - 7)^(1,08)`
. Wanneer we de formule van speerwerpen voor mannen van de KNAU met die van de IAAF
vergelijken, dan blijkt dat voor sommige geworpen afstanden
`r`
de formule van de KNAU meer punten oplevert dan de formule van de IAAF.
Onderzoek voor welke waarden van `r` dat het geval is.
De formules van de KNAU en van de IAAF die horen bij het speerwerpen voor mannen verschillen van elkaar. Dat maakt voor het aantal te behalen punten niet zoveel uit. Er is echter wel een opmerkelijk verschil tussen de grafieken van beide formules: de grafiek van de IAAF stijgt steeds sneller terwijl de grafiek van de KNAU steeds langzamer stijgt. Dat laatste geldt voor elke formule van de KNAU voor de spring- en de werpnummers. Voor elke positieve waarde van `a` hoort bij de formule `P = a sqrt(r) - b` een stijgende grafiek. De stijging van deze grafiek verloopt bovendien steeds minder snel naarmate `r` toeneemt.
Toon deze laatste bewering aan door gebruik te maken van differentiëren.
(bron: examen wiskunde A vwo 2003, eerste tijdvak)