Differentieerregels > TotaalbeeldTesten
Differentieer de functies.
`f(x) = sqrt(x^2 + 1)`
`f(x) = 4x sqrt(x^2 + 1)`
`f(x) = (4x)/(x^2 + 1)`
`f(x) = (x^2 + 1)/(4x)`
`f(x) = (4x)/(sqrt(x^2 + 1))`
Gegeven is de functie `f(x) = (15x)/(x^2 + 36)` .
Bereken algebraïsch de extremen van `f` .
De raaklijn aan de grafiek van `f` in het punt met `x` -coördinaat `3` snijdt de `y` -as in punt `A` . Stel een vergelijking van die raaklijn op en bereken de coördinaten van `A` .
Voor welke `a` raakt de lijn `y = ax` de grafiek van `f` ?
Gegeven is de functie `f` met `f(x) = sqrt(4x^2 - x^3)` .
Bepaal het domein van `f` .
Bereken algebraïsch de extremen van `f` .
Welk probleem doet zich voor als je de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 0` wilt opstellen?
Toch kun je twee raaklijnen van de vorm `y = ax` aan de grafiek tekenen voor `x = 0` .
Laat zien dat de lijnen `y = text(-)2x` en `y = 2x` precies één punt met de grafiek van `f` gemeen hebben.
De drainage (waterafvoer) van natte landerijen door het ingraven van rijen drainagebuizen
is een kostbare zaak. De kosten per hectare hangen af van de onderlinge afstand
`x`
(meter) van de evenwijdige rijen buizen. Die onderlinge afstand heet de
"drainageafstand"
. Er geldt de formule:
`K = a + 100*b*100/x + c*(x^3)/125`
Hierin zijn `a` de vaste kosten per hectare, `b` de kosten van de aanleg van de buizen per meter en `c` de kosten van de schade aan het gewas bij een drainafstand van `25` meter. Alle kosten zijn in euro.
Toon aan dat deze kosten een minimale waarde kunnen bereiken.
Bereken voor `b = 3` en `c = 1000` de optimale drainafstand, dat wil zeggen de afstand tussen de rijen buizen waarvoor `K` minimaal is.
Hoe groot is die minimale waarde van `K` als de vaste kosten € 300,00 per hectare bedragen?
Een zwemmer is in nood voor de kust van Bergen. De figuur geeft een beeld van de situatie.
De zwemmer bevindt zich bij punt
`B`
in zee. Een lid van de reddingsbrigade ziet de zwemmer en wil in actie komen. Zij
bevindt zich in punt
`A`
. Ze wil natuurlijk via de snelste weg naar de drenkeling toe. Maar wat is de snelste
weg?
Een deel van de weg moet ze rennend afleggen en een deel zwemmend. Ze rent met een
gemiddelde snelheid van
`6`
meter per seconde en ze zwemt met een gemiddelde snelheid van
`1,5`
meter per seconde. Hoe kan ze het snelst hulp bieden? Noem het punt waar ze in het
water stapt
`K`
.
Punt
`K`
kan overal langs de aangegeven
`100`
meterlijn liggen. De tijd die ze nodig heeft om in
`B`
te komen moet natuurlijk zo klein mogelijk zijn. Noem de totale tijd
`t`
, de gemiddelde snelheid over het strand
`v_s`
en de gemiddelde snelheid in zee
`v_z`
.
Druk `t` uit in `AK` , `KB` , `v_s` en `v_z` .
Formuleer een verband tussen `t` en `x` .
Bepaal met behulp van differentiëren de minimale tijd die het lid van de reddingsbrigade nodig heeft om de zwemmer te bereiken.
Bepaal de kortste weg.