Exponentiële en logaritmische functies

Exponentiële en logaritmische functies > Het getal e

12345Het getal e

Uitleg

Bij exponentiële groei gaat het om functies van de vorm $f(x)=b*g^x$ . Neem je $b=f(0 )=1$ , dan hebben deze functies de vorm $f(x)=g^x$ . Ga na dat de helling van de grafiek, de groeisnelheid per eenheid, af hangt van de grootte van $g$ . Neem je bijvoorbeeld $x=1$ , dan zie je de helling groter worden als $g$ groter wordt.
Neem je bijvoorbeeld $g=2$ dan zie je dat de helling voor elke $x$ recht evenredig is met $f(x)$ : $f'(x)=c*g^x$ .

Voor $g=2$ geldt: $c≈0,69$ .
Dus als $f(x)=2^x$ dan is $f'(x)≈0,69 *2^x$ .
Voor $g=3$ geldt: $c≈1,10$ .
Dus als $f(x)=3^x$ dan is $f'(x)≈1,10 *3^x$ .

Er lijkt een waarde van $g$ te bestaan (tussen $2$ en $3$ ) waarvoor geldt dat $c=1$ . Ga na, dat dit bij $g≈2,7$ het geval is. Het getal waarbij dit PRECIES het geval is, is net zo'n bijzonder getal als $π$ . Dit getal heeft de letter $text(e)$ gekregen: $text(e)≈2,71828...$
Voor dit getal geldt: als $f(x)= text(e) ^x$ , dan is $f'(x)= text(e) ^x$ .

Met $f(x)= text(e) ^x$ reken je net als met alle exponentiële functies. Er hoort dus ook een logaritme met grondtal $text(e)$ bij...

Opgave 1

Lees eerst de Uitleg goed door. In het algemeen geldt: Als $f(x) = g^x$ dan is $f'(x) = c * g^x$ .

Bekijk de grafiek van $f(x) = 3^x$ en (een benadering van) zijn afgeleide. Laat zien dat $f'(x) ~~ 1,10 * 3^x$ , dus $c ~~ 1,10$ .

Bekijk de grafiek van $f(x) = 2,5^x$ en (een benadering van) zijn afgeleide. Bepaal nu zelf de bijpassende waarde van $c$ .

Doe ditzelfde ook voor $f(x) = 2,7^x$ en $f(x) = 2,8^x$ .

Is er een getal $g$ waarvoor $c = 1$ ? Hoe groot is dit getal ongeveer?

Opgave 2

Gegeven de functie $f(x) = g^x$ . De verandering van $f$ op een klein interval $[x, x + h]$ is: $(Delta y)/(Delta x) = (g^(x + h) - g^x)/(h)$ .

Leg dat met behulp van een figuur uit. (Maak eventueel een eigen applet in GeoGebra!)

Laat zien, dat $(Delta y)/(Delta x) = (g^(h) - 1)/(h) * g^x$ .

Waarom kun je hieruit afgeleiden dat $f'(x) = c * g^x$ ?

Neem $g = text(e)$ en bepaal met behulp van het antwoord van b de waarde van $text(e)$ .

Opgave 3

Bekijk de grafiek van de functie $f(x) = text(e)^x$ .

Hoe voer je die grafiek in je grafische rekenmachine in? Welke asymptoot heeft die grafiek?

Waar in de grafiek vind je het getal $text(e)$ ?

Los met je grafische rekenmachine op $text(e)^x = 10$ . Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

De exacte oplossing van $text(e)^x = 10$ is gelijk aan $x=\ ^text(e) log(10 )$ .

Laat zien dat je zo dezelfde waarde voor $x$ vindt als bij c.

In plaats van $x=\ ^text(e) log(... )$ wordt in de wiskunde $ln(...)$ gebruikt. Je rekenmachine heeft een speciale toets voor $ln(...)$ .

Los nu zowel exact als in drie decimalen nauwkeurig op: $text(e)^x = 20$ .

Los op: $1/50 ≤ text(e)^x ≤ 50$ . Geef benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.

Welk hellingsgetal heeft de grafiek van $f(x) = text(e)^x$ in het punt $(1, text(e))$ ? Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

verder | terug