Bij exponentiële groei gaat het om functies van de vorm . Neem je , dan hebben deze functies de vorm . Ga na dat de helling van de grafiek, de groeisnelheid per eenheid, af hangt van
de grootte van . Neem je bijvoorbeeld , dan zie je de helling groter worden als groter wordt.
Neem je bijvoorbeeld dan zie je dat de helling voor elke recht evenredig is met : .
Voor geldt: .
Dus als dan is .
Voor geldt: .
Dus als dan is .
Er lijkt een waarde van te bestaan (tussen en ) waarvoor geldt dat . Ga na, dat dit bij het geval is. Het getal waarbij dit PRECIES het geval is, is net zo'n bijzonder getal
als . Dit getal heeft de letter gekregen:
Voor dit getal geldt: als , dan is .
Met reken je net als met alle exponentiële functies. Er hoort dus ook een logaritme met grondtal bij...
Lees eerst de
Bekijk de grafiek van en (een benadering van) zijn afgeleide. Laat zien dat , dus .
Bekijk de grafiek van en (een benadering van) zijn afgeleide. Bepaal nu zelf de bijpassende waarde van .
Doe ditzelfde ook voor en .
Is er een getal waarvoor ? Hoe groot is dit getal ongeveer?
Gegeven de functie . De verandering van op een klein interval is: .
Leg dat met behulp van een figuur uit. (Maak eventueel een eigen applet in GeoGebra!)
Laat zien, dat .
Waarom kun je hieruit afgeleiden dat ?
Neem en bepaal met behulp van het antwoord van b de waarde van .
Bekijk de grafiek van de functie .
Hoe voer je die grafiek in je grafische rekenmachine in? Welke asymptoot heeft die grafiek?
Waar in de grafiek vind je het getal ?
Los met je grafische rekenmachine op . Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
De exacte oplossing van is gelijk aan .
Laat zien dat je zo dezelfde waarde voor vindt als bij c.
In plaats van wordt in de wiskunde gebruikt. Je rekenmachine heeft een speciale toets voor .
Los nu zowel exact als in drie decimalen nauwkeurig op: .
Los op: . Geef benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.
Welk hellingsgetal heeft de grafiek van in het punt ? Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.