`g(x) = 3^x = (text(e)^(ln(3)))^x = text(e)^(x * ln(3))` dus `g'(x) = ln(3) * text(e)^(x * ln(3)) = ln(3) * 3^x` .

`h(x) = 0,5^x = (text(e)^(ln(0,5)))^x = text(e)^(x * ln(0,5))` dus `h'(x) = ln(0,5) * text(e)^(x * ln(0,5)) = ln(0,5) * 0,5^x` .

`f(x) = g^x = (text(e)^(ln(g)))^x = text(e)^(x * ln(g))` dus `f'(x) = ln(g) * text(e)^(x * ln(g)) = ln(g) * g^x` .

`f'(x) = 5 ln(3) * 3^x`

`f'(x) = 2,5 ln(2) * 2^(0,5x)`

`f'(x) = text(-)4,8 ln(10) * 10^(0,1x)`

`f'(x) = text(-)10text(e)^(text(-)0,1x)`

`T(0) = 50-40 = 10` °C.

De groeisnelheid is: `T'(t) = text(-)40*ln(0,9)*0,9^t ~~ 4,21*0,9^t` .

Op `t = 0` bedraagt de groeisnelheid `T'(0) ~~ 4,21` °C/min.

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine. Kies geschikte instellingen voor de assen.

`p(0) = 3,5 - 2,1 * 0,97^0 = 1,4`
`p(10) = 3,5 - 2,1 * 0,97^10 ~~ 2,0` .

`p(t) = 3,5 - 2,1 * 0,97^t = 2,6` geeft `t ~~ 25,2` dus vanaf `26` seconden is dat het geval.

`p'(t) = text(-)2,1 * 0,97^t * ln(0,97)` en dus is `p'(0) ~~ 0,07` atm/s.

Nu moet `p(t)` de vorm `p(t) = 3,5 - 2,1 * text(e)^(k*t)` krijgen.
Omdat `text(e)^k = 0,97` moet `k ~~ text(-)0,03` .
Dus `p(t) = 3,5 - 2,1 * text(e)^(text(-)0,03*t)` .

`p'(t) = text(-)2,1 * text(e)^(text(-)0,03*t) * text(-)0,03` en dus is `p'(0) ~~ 0,07` atm/s.

`f'(x) = 3*1,2^x*ln(1,2)`

`f’(x) = 5*text(e)^(0,1x)`

`f'(x) = 0,88^x(1 + x*ln(0,88)) `

`f'(x) = 10 ln(10)*10^(text(-)0,5x)`

`f'(x) = 1 - ln(2) * 2^(text(-)x) = 0` geeft `x = \ ^2 log(ln(2))` en het minimum is daarom `f(\ ^2 log(ln(2))) ~~ 0,92` .

`f'(0) = 1 - ln(2)` en `f(0) = 1` geeft `y = (1 - ln(2))x + 1` .

`f'(x) = (1 - 2x^2)text(e)^(text(-)x^2) = 0` geeft `x = +- 1/2sqrt(2)` .
Met de grafiek geeft dit min. `f(text(-) 1/2sqrt(2)) = text(-) 1/2sqrt(2/(text(e)))` en max. `f(1/2sqrt(2)) = 1/2sqrt(2/(text(e)))` .

De lijn `y = x` .

Grafiek is stijgend vanaf `(0,6)` naar horizontale asymptoot `T = 20` .

De snelheid van temperatuursverandering `T'(t)` is recht evenredig met het temperatuursverschil met de omgeving en dat is `20 - T` .

`T(t) = 20 + a * text(e)^(ct)` en `T'(t) = a * c * text(e)^(ct)` invullen geeft links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde voor elke `t` .

`T(12) = 18` en `T(0) = 6` invullen geeft `a = text(-)14` en `c = 1/(12) ln(1/7) ~~ text(-)0,16` . Dus `T(t) = 20 - 14text(e)^(text(-)0,16t)` .

`T'(0) ~~ 2,27` en `T'(15) ~~ 0,20`  °C/min. De opwarming verloopt steeds langzamer.

Doen.

`N(t) = 100 * 0,9996^t` geeft `N'(t) = 100 * ln(0,9996) * 0,9996^t ~~ text(-)0,043 * 0,9996^t` .
`N(t) = 100 * text(e)^(text(-)0,00043t)` geeft `N'(t) = 100 * text(-)0,00043 * text(e)^(text(-)0,00043t) = text(-)0,043 * text(e)^(text(-)0,00043t)` .
`N(t) = 100 * 10^(text(-)0,00019t)` geeft `N'(t) = 100 * text(-)0,00019 * ln(10) * text(e)^(text(-)0,00019t) = text(-)0,043 * 10^(text(-)0,00019t)` .
`N'(0) ~~ text(-)0,043` .

`N'(90) ~~ text(-)0,0414` , dus je ziet de vervalsnelheid kleiner worden.

`100 * text(e)^(text(-)0,00043t) = 20` geeft `text(-)0,00043t = ln(0,20)` en `t ~~ 3743` . Dus na ongeveer `3750` jaar.

`text(e)^(5600k) = 0,5` geeft `k = (ln(0,5))/(5600) ~~ text(-)0,000124` .

`t = (ln(0,79))/(k) ~~ 1900` jaar.

`t = (ln(0,65))/(k) ~~ 3500` jaar.

`t = (ln(0,33))/(k) ~~ 9000` jaar.

De halveringstijd is `8,06` dagen, dus `text(e)^(text(-)8,06k) = 0,5` . Dan is `text(-)8,06k = ln(0,5)` , dus `k ~~ 0,086` . De formule wordt dan: `m = m_0 text(e)^(text(-)0,086t)` .

`5,00 * text(e)^(-0,086t) ~~ 1,40` , dus ongeveer `1,4` gram.

`m' = 0,086 * m` dus de evenredigheidsconstante is `0,086` .

`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,10` geeft `t ~~ 27` , dus na `27` dagen.

Ook na ongeveer `27` dagen, want de vervalsnelheid is recht evenredig met de hoeveelheid.

`5,00 * text(e)^(text(-)0,086t) = 0,005` geeft `t ~~ 80,3` , dus na `81` dagen.
Theoretisch gesproken is de stof nooit volledig verdwenen, want de grafiek van `N` nadert wel steeds dichter naar `N = 0` als `t` groter wordt, maar die waarde wordt nooit echt bereikt.

`f'(x) = 3ln(0,5) 0,5^(2x - 1)`
De vergelijking van de raaklijn wordt `y = text(-)2,77x + 0,81` .

`f'(x) = text(-) (text(e)^(sqrt(x)))/(2sqrt(x))`
De vergelijking van de raaklijn wordt `y = text(-)1,55x + 4,02` .

`alpha ~~ 0,916` .

Ongeveer `5` cm.

`I'(0) = text(-)I(0)ln(0,4)` .