Exponentiële en logaritmische functies > Exponentiële functiesToepassen
Radioactieve stoffen zijn stoffen die straling uitzenden. Bij dergelijke stoffen zijn de atoomkernen instabiel, bijvoorbeeld doordat er te veel protonen en/of neutronen in zitten. Een natuurlijke radioactieve stof is de radiumisotoop `\ _88^226text(Ra)` . Bij deze stof zendt elke atoomkern een α-deeltje (een heliumkern) uit, waardoor hij overgaat in een atoom van het element radon: `\ _86^222text(Rn)` . De halfwaardetijd van dit radium is ongeveer `1600` jaar. In die tijd wordt de helft van de radiumatomen omgezet in radon. Het percentage radium neemt voortdurend af (vanaf `100` %).
Neem `t = 0` op 1-1-1900 en `t` in jaren en noem het percentage radium `N` . Je kunt het verval van radium dan op drie manieren met een formule beschrijven:
-
`N(t) = N(0)*g^t` met `N(0) = 100` en `g^1600 = 0,5` .
Dit wordt: `N(t) ≈ 100 * 0,9996^t` -
`N(t) = N(0)*text(e)^(kt)` met `N(0) = 100` en `text(e)^(1600k) = 0,5` .
Dit wordt: `N(t) ≈ 100 * text(e)^(text(-)0,00043t)` -
`N(t) = N(0)*10^(kt)` met `N(0) = 100` en `10^(1600k) = 0,5` .
Dit wordt: `N(t) ≈ 100 * 10^(text(-)0,00019t)`
Bekijk
Reken de drie gevonden vervalformules zelf na.
Bereken met elk van de drie gevonden vervalformules de vervalsnelheid op `t = 0` .
Bereken ook de vervalsnelheid op `t = 90` . Wat gebeurt er met de vervalsnelheid als `t` toeneemt?
In welk jaar is er nog `20` % van de beginhoeveelheid radium over als er verder niemand aan komt?
Zowel in de atmosfeer als in levende organismen bevindt zich een bepaald percentage
aan radioactieve koolstof C-14. Zodra een organisme sterft vindt er geen uitwisseling
met de koolstof uit de atmosfeer meer plaats. Het percentage C-14 neemt vanaf dat
moment exponentieel af met een halveringstijd van ongeveer
`5600`
jaar. Omdat alle levende organismen eenzelfde gehalte aan C-14 hebben, stelt dit
ons in staat de ouderdom te bepalen van natuurlijke materialen als perkament, leren
kleding, houten palen en dergelijke.
Het gehalte
`C(t)`
aan C-14 is gegeven als percentage van het gehalte in levende organismen.
`t`
is de tijd in jaren met
`t = 0`
op het moment dat het organisme is gestorven.
Stel een formule op voor `C(t)` van de vorm `C(t) = 100 * text(e)^(kt)` . Bereken `k` in zes decimalen nauwkeurig.
Van de Dode Zee-rollen is het gehalte aan C-14 nog `79` %. Hoe oud zijn ze?
Van een mummie is nog `65` % van het gehalte aan C-14 over. Hoe oud is die mummie?
Van een Indianensandaal uit een grot in Amerika is nog `33` % van het gehalte aan C-14 over. Hoe oud is die sandaal?
Bij onderzoek in het menselijk lichaam gebruiken artsen de stof jodium-131. Die stof is namelijk radioactief en daardoor kunnen deeltjes van die stof in het menselijk lichaam van buitenaf worden gevolgd. De halveringstijd (of halfwaardetijd) van jodium-131 is `8,06` dagen. Omdat radioactief verval exponentieel verloopt, kan de hoeveelheid jodium-131 in mg worden beschreven door:
`m = m_0 * text(e)^(text(-)kt)`
`t` is daarin de tijd in dagen en `m_0` is de hoeveelheid op tijdstip `t = 0` .
Bereken `k` , dat is de zogenaamde desintegratieconstante.
Als iemand een stof krijgt ingespoten die `5,00` mg jodium-131 bevat, hoeveel is daar na `15` dagen dan nog van terug te vinden?
Toon aan dat in dit model de vervalsnelheid recht evenredig is met de hoeveelheid radioactieve stof. Hoe groot is de bijbehorende evenredigheidsconstante?
Na hoeveel dagen is er nog `10` % van de beginhoeveelheid over?
Na hoeveel dagen is de vervalsnelheid (de radioactiviteit) verminderd tot `10` % van de beginsnelheid?
Als een meetnauwkeurigheid van twee decimalen maximaal haalbaar is, na hoeveel dagen is de ingespoten `5` mg jodium-131 dan niet meer meetbaar? Is de stof ooit volledig verdwenen?