Exponentiële en logaritmische functies > Exponentiële functies
12345Exponentiële functies

Voorbeeld 2

Een radiatorplaat warmt op volgens de formule:

`T(t) = 50 - 40*0,9^t `

Hierin is:

  • `T` de temperatuur in °C

  • `t` de tijd in minuten

Laat zien hoe je deze formule kunt schrijven met grondtal `text(e)` en bereken de snelheid waarmee het opwarmen begint op `t=0` .

> antwoord

De formule moet de vorm `T(t) ~~ 50 - 40*text(e)^(k*t)` krijgen.

Omdat `0,9 = text(e)^k` wordt `k = ln(0,9) ~~ text(-)0,11` en geldt `T(t) ~~ 50 - 40*text(e)^(text(-)0,11t)` .

De opwarmsnelheid is: `T'(t)= text(-)40*text(e)^(text(-)0,11t)*text(-)0,11 ~~ 4,21*text(e)^(text(-)0,11t)` .

Op `t=0` bedraagt de opwarmsnelheid `T'(0) ~~ 4,21` °C/min.

Opgave 5

Bekijk het temperatuurverloop van de opwarmende radiator in Voorbeeld 2.

a

Welke temperatuur heeft de radiator aan het begin van het opwarmingsproces?

b

Je kunt de snelheid waarmee het opwarmen begint op `t = 0` ook rechtstreeks vanuit `T(t) = 50 - 40*0,9^t ` afleiden. Laat zien, dat je dan dezelfde opwarmsnelheid krijgt.

Opgave 6

Bij benzinestations is vaak een extra service beschikbaar om de autobanden op te pompen. De automatische pomp levert een druk van `3,5` atmosfeer. De luchtdrukverandering in de band is recht evenredig met het drukverschil tussen de luchtdruk in de band en de luchtdruk van de pomp. Er geldt:

`p(t) = 3,5 - 2,1 * 0,97^t`

Hierin is:

  • `p` de luchtdruk in de band in atmosfeer

  • `t` de tijd in seconden

a

Maak een passende grafiek bij dit verband.

De luchtdruk in de band begint met `1,4` atmosfeer en is na `10` seconden pompen opgelopen tot `2,0`  atmosfeer.

b

Laat zien dat dit uit de gegeven formule volgt.

c

Je stopt de pomp als de druk in de band `2,6` atmosfeer bedraagt. Na hoeveel seconden is dat het geval?

d

Bereken de snelheid waarmee de druk in de band toeneemt op `t = 0` .

e

Schrijf de gegeven formule in de vorm met grondtal `text(e)` en bereken daarmee opnieuw de snelheid waarmee de druk in de band toeneemt op `t = 0` .

verder | terug