Exponentiële en logaritmische functies > Groeimodellen
12345Groeimodellen

Uitleg

Een functie zoals `N(t)=60 *1,5^t` beschrijft exponentiële groei. Je kunt deze functie opvatten als een exponentieel groeimodel. De groei is dan nogal explosief, bij betrekkelijk kleine waarden van `t` heb je al met hele grote uitkomsten te maken.
Dat is lastig als je een geschikte grafiek wilt maken.
Neem je daarentegen aan beide zijden de logaritme dan krijg je: `log(N) = log(60 * 1,5^t)` .
Met de eigenschappen van logaritmen wordt dit: `log(N) = log(60) + t*log(1,5)` .
Omdat zowel `log(60)` als `log(1,5)` getallen zijn, staat hier dat tussen `log(N)` en `t` een lineair verband bestaat. En daarom wordt een exponentiële functie een rechte lijn als je op de verticale as een logaritmische schaal gebruikt.
Er bestaat speciaal grafiekenpapier waar de verticale as zo is aangepast dat je zonder omrekenen met logaritmen een rechte lijn krijgt bij een exponentiële functie. Dat heet enkellogaritmisch papier.

Opgave 1

Bekijk Uitleg 1. Daarin gaat het over het tekenen van de grafiek van een exponentiële functie.

a

Ga na dat de getekende grafiek juist is.

Neem nu de functie `K(t) = 600 * 0,8^t` .

b

Laat op algebraïsche wijze zien dat `log(K)` een lineaire functie van `t` is.

c

Teken de grafiek van `log(K)` .

Zowel de grafiek van `N` als die van `K` kun je op enkellogaritmisch grafiekenpapier tekenen. Je hoeft dan niet eerst de formule te herschrijven.

d

Neem een blad van dit grafiekenpapier en teken daarop de grafieken van beide functies.

e

Je ziet hier de grafiek van een nieuwe functie `N(t)` op enkellogaritmisch grafiekenpapier. Leg uit dat de grafiek door `(0,5; 8000 )` en `(6, 400 )` gaat en stel het functievoorschrift op.

f

Lees uit de figuur af hoe groot `N(1)` en `N(4,5)` (bij benadering) zijn. Controleer je antwoorden met behulp van het functievoorschrift.

g

Heeft `N(t) = 0` oplossingen? Kan er op de verticale as een `0` voorkomen?

Opgave 2

Bekijk de functie `N_4(t) = 400 - 300 * 0,75^t` .

a

Teken de grafiek van `N_4` op enkellogaritmisch grafiekenpapier.

b

Kun je verklaren waarom de grafiek geen rechte lijn wordt?

Opgave 3

Deze tabel met gegevens hoort bij een bacteriecultuur. `t` is gegeven in uren, en `N(t)` in aantallen.

`t` 0 1 2 3 4 5 6
`N(t)` 50 84 141 237 398 670 1125
a

Maak met behulp van deze tabel een tabel waarin `log(N)` wordt uitgezet tegen  `t` .

b

Teken de bijbehorende grafiek. Kun je deze grafiek benaderen door een rechte lijn? Is er sprake van exponentiële groei?

c

Stel een formule op voor `log(N)` als functie van `t` .

d

Stel met behulp van het antwoord van c een formule op voor `N` als functie van `t` .

verder | terug