Exponentiële en logaritmische functies > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

Verticale asymptoot `x = 4` .

b

Er is geen snijpunt met de `y` -as.
Het snijpunt met de `x` -as vind je uit `y = text(-)2 ln(x - 4) + 2 = 0` en dit geeft `ln(x - 4) = 1` , dus `x = 4 + text(e)` .
Dus `(6,718; 0))` .

c

`y'(x) = (text(-)2)/(x - 4)` geeft `y'(6,718) ~~ text(-)0,736` en dus is de vergelijking van de raaklijn `y = text(-)0,736x + 4,943` .

d

`f(x) = 10` geeft `ln(x - 4) = text(-)4` en dus `x = text(e)^(text(-)4) + 4 ~~ 4,02` .
`f(x) = text(-)10` geeft `ln(x - 4) = 6` en dus `x = text(e)^(6) + 4 ~~ 407,43` .
Grafiek: `4,0 < x < 407,4` .

Opgave 2
a

`y'(x) = text(-)xtext(e)^(text(-) 1/2x^2) = 0` geeft `x = 0` en als enige maximum `y = text(e)^0 = 1` . Omdat voor `x` -waarden heel ver van `0` geldt `y rarr 0` , is `0 \lt y \le 1` .

b

`y'(x) = text(-)xtext(e)^(text(-) 1/2x^2) = 0` is maximaal als `x = +-1` , gebruik je GR.
De twee buigpunten zijn `(+-1, text(e)^(text(-)1/2))` .

c

Maak ze met de grafische rekenmachine: Y1=e^(-0.5x^2) en Y2=(Y1(X+0.0001)-Y1(X))/0.0001.

Opgave 3
a

`t rarr oo` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) rarr 0` en dus `N(t) rarr 1200` .

b

Horizontale asymptoot `N = 1200` .

c

`1200(1 - text(e)^(text(-)0,31t)) = 550` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 13/24` zodat `t ~~ 1,97776` en dat is ongeveer `119` minuten.

d

`v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t)` en als `t rarr oo` dan gaat `v(t) rarr 0` .
Dat wil niet zeggen dat `N` naar een constante nadert, maar de toenamesnelheid nadert wel naar `0` en dat is in overeenstemming met de conclusie in a.

e

`N'(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) > 0` voor elke waarde van `t` .

f

`t = 1,75` uur en `v(1,75) ~~ 216` leerlingen per minuut.

g

`v(0) = 372` leerlingen/min en `v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) = 186` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 0,5` en dus `t ~~ 2,24` . Dat is ongeveer 2 uur en 14 minuten.

Opgave 4
a

Halvering per vaste periode, dus exponentiële groei. Elk exponentieel groeimodel is te schrijven m.b.v. een e-macht.

b

`H(t) = 1 * (0,5^(1/(4,486)))^t ~~ 1 * 0,856^5 ~~ 1 * text(e)^(text(-)0,155t)` .

c

Bij een exponentieel proces is de groeifactor niet afhankelijk van de (begin)hoeveelheid.

d

`0,5^(1/(8,06)) ~~ text(e)^(text(-)0,086)` , dus `k ~~ text(-)0,086` .

e

`H(t) = 1 * text(e)^(text(-)0,086t)` geeft `H'(t) = text(-)0,086 * text(e)^(text(-)0,086t) = text(-)0,086 * H(t)` , dus de evenredigheidsconstante is `text(-)0,086` .

f

`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,1` geeft `t ~~ 26,8` .

g

Ook na `26,8` dagen.

h

`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,01` geeft `t ~~ 72,3` . Na `72,3` dagen is hoeveelheid niet meer meetbaar. De stof verdwijnt (in theorie) nooit volledig.

Opgave 5
a

`T(t) = 10 + 10 * 0,9982^t` geeft `15` °C na `385` minuten en `19,5` °C na `28,5` minuten.

b

`T'(0) = text(-)0,018` °C/min en `T'(60) = text(-)0,016` °C/min.

c

`T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft `T'(t) ~~ 0,0279 * 0,9982^t > 0` voor elke `t` .

d

`20` °C na `18,2` minuten.

e

`T(t) = 10 + 10,5 * 0,9982^t` geeft `19,5` °C na `55,6` min.
`T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft `20,5` °C na `37,0` min.
De periode is `92,6` minuten, dus CV brandt gedurende `40` % van de periode.

f

De CV gaat uit bij `20,25` °C en de CV gaat aan bij `19,75` °C.
`T(t) = 10 + 10,25 * 0,9982^t` geeft `19,75` °C na `27,8` min.
`T(t) = 35 - 15,25 * 0,9982^t` geeft `20,25` °C na `18,5` min.
De periode is `46,3` minuten, dus CV brandt gedurende `40` % van de periode.

g

De CV gaat uit bij `20,5` °C en de CV gaat aan bij `19,5` °C.
`T(t) = 3 + 17,5 * 0,9982^t` geeft `19,5` °C na `32,7` min.
`T(t) = 28 - 8,5 * 0,9982^t` geeft `20,5` °C na `69,5` min.
De periode is `102,2` minuten, dus CV brandt gedurende `68` % van de periode.
De CV gaat uit bij `20,25` °C en de CV gaat aan bij `19,75` °C.
`T(t) = 3 + 17,25 * 0,9982^t` geeft `19,5` °C na `16,3` min.
`T(t) = 28 - 8,25 * 0,9982^t` geeft `20,5` °C na `34,7` min.
De periode is `51,0` minuten, dus CV brandt gedurende `68` % van de periode.

Opgave 6Vissen in de Grevelingen
Vissen in de Grevelingen
a

Voor 1985 geldt `t = 0` , er zijn dan `0,5` miljoen schollen ouder dan 1 jaar. Het aantal schollen ouder dan 1 jaar is telkens `0,67` deel van dat van het voorgaande jaar plus `0,5` mln larven die hun eerste jaar hebben overleefd. Dus in de jaren 1986, 1987, ..., 1995 worden dat er: `0,83` ; `1,06` ; `1,20` ; `1,30` ; `1,36` ; ... miljoen.

b

Dit wordt een steeds langzamer stijgende grafiek. Het aantal schollen ouder dan 1 jaar nadert steeds langzamer de `1,50` miljoen.

c

`G = 1,50` .
Gebruik nu `S(0) = 0,50` en (bijvoorbeeld) `S(4) = 1,30` en je vindt: `S(t) ~~ 1,50 - 1,00 * text(e)^(text(-)0,40t)` .

d

Het aantal vissen dat sterft als gevolg van de visserij is `23` % van het aantal aanwezige vissen. Er van uitgaande dat larven te klein zijn voor bevissing zou dit betekenen dat het deel van de schollen ouder dan 1 jaar dat jaarlijks overleeft `0,67 * 0,77 ~~ 0,52` wordt.

e

Eigen antwoord.

Opgave 7Verouderende populaties
Verouderende populaties
a

Vast percentage "overblijvers" , dus constante groeifactor.

b

`M = 0,05` : `(0; 0,05)` op verticale as.
`G = 0,21` : de richtingscoëfficiënt van de lijn is `log(text(e)^(0,21))` .

c

`m = 0,05 text(e)^(0,21x)` , de grafiek past bij de formule.

d

`m(10) ~~ 0,41` dus zo'n `59` tienjarigen.

e

`M ~~ 0,09` . Exponentiële groei tussen `(0;0,09)` en `(10;0,38)` , zodat `G ~~ 0,14` .

f

Dit volgt uit `text(e)^(Gx) = 2` .

g

Kalkoen: `SCVT = 3,3` .
Spreeuw: `SCVT = 5,0` .

h

Kalkoen: `S(t) = 100(1 - 0,05text(e)^(0,21x))` .
Spreeuw: `S(t) = 100(1 - 0,05text(e)^(0,14x))` .
Eerste grafiek eerder op nul, deze grafiek daalt in begin iets minder sterk, daarna sterkere daling. Meer "vergrijzing" bij de spreeuwen.

Opgave 8Aardbevingen
Aardbevingen
a

`log(10A) = log(A) + log(10) = log(A) + 1` .

b

De aardbeving in Chili was `10^(3,3) ~~ 1995` keer zo sterk.

c

Vergelijkbaar bewijs als in a.

d

`D = 152,7` ° dus ongeveer `17.000` km.

b

`8,8 = log(A/T) + 1,66 * log(D) + 3,30` geeft `log(A/T * D^(1,66)) = 5,5` en dus `A/T * D^(1,66) = 10^(5,5)` zodat `D = 2057 * (T/A)^(0,60)` .
`p ~~ 2057` en `q ~~ 0,60` .

(Bron: examen wiskunde B havo 1994, eerste tijdvak, aangepast)

Opgave 9Medicijn
Medicijn
a

`C(t) = 0,035` geeft `t ~~ 0,3469 vv t ~~ 6,0715` (met de GR). Het medicijn is 5 uur en 43 minuten (of 343 minuten) werkzaam.

b

`C'(t) = 0,12 * 1 * text(e)^(-0,5t) + 0,12 * t * text(-)0,5 * text(e)^(text(-)0,5t)` en dan herleiden naar de juiste formule.

c

`C"(t) = 0,12 * (0,25t - 1) * text(e)^(text(-)0,5t) = 0` geeft `t = 4` .

d

Het hoogste maximum is het maximum op `[18, 24]` van `C(t) + C(t - 6) + C(t - 12) + C(t - 18)` .
Dit maximum kun je met de GR vergelijken met `0,11` . Je concludeert dat de concentratie op `[18, 24]` niet boven de `0,11` (mg/cm3) komt.

(Bron: examen vwo wiskunde B vwo 2007, tweede tijdvak)

verder | terug