Exponentiële en logaritmische functies > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 8Aardbevingen
Aardbevingen

Aardbevingen worden geregistreerd met een seismograaf, die aardbevingsgolven weergeeft in een seismogram. Verspreid over de aarde staan veel seismografen opgesteld. De uitwijking van een seismograaf hangt af van de afstand van dit instrument tot de plaats aan de oppervlakte van de aarde waar de beving het eerst optreedt. Deze plaats noemt men het epicentrum van de aardbeving. Om aardbevingen met elkaar te kunnen vergelijken gebruikt men seismogrammen die op een afstand van `100` km van het epicentrum zijn gemaakt (standaard seismogrammen). De kracht van een aardbeving wordt meestal uitgedrukt in een getal op de schaal van Richter. Bij deze schaal wordt de logaritme (met grondtal `10` ) gebruikt van de grootste uitwijking in micrometer die in het seismogram voorkomt.

a

Leg uit, dat de kracht op de schaal van Richter met `1` toeneemt als de maximale uitwijking van de seismograaf `10` keer zo groot wordt.

De aardbeving in Nederland van 13 april 1992 had een kracht van `5,5` op de schaal van Richter. De kracht van de aardbeving op 27 februari 2010 in Chili was `8,8` .

b

Bereken de verhouding tussen deze twee grootste uitwijkingen.

Als op een bepaald waarnemingsstation een seismogram gemaakt is en je weet de plaats van het epicentrum, dan kun je met de volgende formule de kracht van de aardbeving berekenen:

`R = log(A/T) + 1,66 * log(D) + 3,30`

Hierin is:

  • `R` de kracht van de aardbeving uitgedrukt in een getal op de schaal van Richter;

  • `A` de grootste uitwijking in het seismogram in µm ( `1` µm `= 0,001` mm);

  • `T` de tijd in seconden van de trilling met de grootste uitwijking;

  • `D` de grootte in graden van de hoek tussen de verbindingslijnstukken `ME` en `MW` , waarin `M` het middelpunt van de aarde, `E` het epicentrum van de aardbeving en `W` de plaats van het waarnemingsstation is.

Uit de formule volgt inderdaad dat de kracht op de schaal van Richter met `1` toeneemt als de maximale uitslag van de seismograaf `10` keer zo groot wordt (bij dezelfde `T` en `D` ).

c

Toon dit aan.

Van de Chileense aardbeving van 2010 werd een seismogram opgenomen. De trillingen gaven daar een maximale uitslag van `1500` µm; de trillingstijd `T` bedroeg `20` s. Na invulling van `D` werd `R = 8,8` gevonden. Neem aan dat de omtrek van de aarde `40.000` km is.

d

Bereken de afstand over de aardbol tussen de plaats waar het seismogram werd opgenomen en het epicentrum in Chili in honderden kilometers nauwkeurig.

Ook op diverse andere plaatsen werd in 2010 een seismogram van de Chileense aardbeving opgenomen. Op al die plaatsen berekende men dat de kracht van de aardbeving `8,8` was.

b

Toon aan dat hieruit volgt dat tussen `A` , `T` en `D` een verband bestaat van de vorm: `D = p * (T/A)^q` en bereken `p` en `q` in twee decimalen nauwkeurig.

(Bron: examen wiskunde B havo 1994, eerste tijdvak, aangepast)

Opgave 9Medicijn
Medicijn

Als een patiënt een dosis van een medicijn toegediend krijgt, zal de concentratie van dit medicijn in het bloed eerst toenemen en daarna afnemen. Van een bepaald medicijn wordt de concentratie `C` (in mg/cm3) in het bloed gegeven door de formule:

`C(t) = 0,12 * t * text(e)^(text(-)0,5t)`

Hierbij is `t` het aantal uren na het toedienen van één dosis van het medicijn.
Van dit medicijn is bekend dat het werkzaam is zolang `C` groter is dan `0,035` mg/cm3. De tijd dat het medicijn werkzaam is bij één keer toedienen is minder dan `6` uur.

a

Bereken in minuten nauwkeurig hoe lang het medicijn in dit geval werkzaam is.

Er geldt: `C'(t) = 0,12(1 - 0,5t)text(e)^(text(-)0,5t)` .

b

Toon dit aan.

Er is een tijdstip waarop de concentratie het sterkst afneemt.

c

Bereken dit tijdstip.

Het medicijn wordt in gelijke doses toegediend met tussenpozen van 6 uur. Omdat 6 uur na de eerste keer toedienen van het medicijn een tweede dosis wordt toegediend, geldt vanaf `t = 6` tot `t = 12` de volgende formule voor de concentratie `C^(text(*))` (in mg/cm3) van het medicijn in het bloed:

`C^(text(*))(t) = C(t) + C(t - 6)`

Bij elke nieuwe dosis verandert de formule voor de concentratie van het medicijn in het bloed. In elke periode van `6` uur heeft de concentratie van het medicijn in het bloed een maximale waarde. De maximale waarde wordt in elke volgende periode van `6` uur iets groter. Het medicijn kan schadelijke gevolgen hebben als de concentratie boven de `0,11` mg/cm3 komt.

d

Onderzoek of dit het geval is binnen 24 uur na het begin van het toedienen van het medicijn.

(Bron: examen vwo wiskunde B vwo 2007, tweede tijdvak)

verder | terug