Exponentiële en logaritmische functies > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Gegeven is de formule `y = text(-)2 ln(x - 4) + 2` .

a

Bepaal de vergelijking van de asymptoot van de bijbehorende grafiek.

b

Bereken de snijpunten van de grafiek van de grafiek van deze formule met de assen. Geef benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.

c

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek in het snijpunt met de `x` -as. Geef weer benaderingen in drie decimalen nauwkeurig.

d

Los algebraïsch in één decimaal nauwkeurig op: `text(-)10 < f (x) < 10` .

Opgave 2

Gegeven is de functie `y = text(e)^(text(-) 1/2 x^2)` .

a

Bepaal algebraïsch de waarden die `y` kan aannemen.

b

Bereken de waarden van `x` waarin het hellingsgetal van deze functie een grootste of een kleinste waarde aanneemt.

c

Schets de grafieken van `y` en van `(text(d)y)/(text(d)x)` .

Opgave 3

Belangrijk nieuws verspreidt zich razendsnel. Het aantal leerlingen `N` dat op een zeker tijdstip `t` van een belangrijk feit op de hoogte is, wordt gegeven door de formule

`N(t) = 1200(1 - text(e)^(text(-)0,31t))`

Hierin is `t` in uren en is `t = 0` om 09:00 uur.

a

Op grond van deze formule kun je concluderen dat het aantal leerlingen dat van een belangrijk feit op de hoogte is uiteindelijk ongeveer constant wordt? Leg uit waarom.

b

Geef een vergelijking van de asymptoot van de grafiek van `N(t)` .

c

Bereken algebraïsch op welk tijdstip er `550` leerlingen van het feit gehoord hebben. Rond in het antwoord af op minuten.

d

Voor de snelheid `v` waarmee het nieuws zich verspreidt geldt: `v(t) = (text(d)N)/(text(d)t)` . Hoe ziet de formule voor de snelheid van de nieuwsverspreiding er uit? Kun je op grond van deze formule dezelfde conclusies als bij a trekken?

e

Toon algebraïsch aan dat de grafiek van `N` stijgend is.

f

Met welke snelheid verspreidt het nieuws zich om kwart voor 11? Geef het antwoord in gehelen per minuut.

g

Op welk tijdstip is de snelheid van de nieuwsverspreiding de helft van die om 09:00 uur? Geef dit tijdstip in minuten nauwkeurig.

Opgave 4

Radioactiviteit is een eigenschap van bepaalde instabiele zeer zware metalen. Bekende voorbeelden zijn radium en uranium. Het gaat daarbij om stoffen waarvan de atoomkern straling (in de vorm van bepaalde deeltjes) uitzendt. Soms is deze straling schadelijk voor leven.

Een voorbeeld is U-238, een isotoop van uranium die door het uitstoten van α-deeltjes (deeltjes die bestaan uit twee protonen en twee neutronen) wordt omgezet in thorium, Th-234. Uranium is een metaal dat in de natuur vookomt, ruim 98% daarvan is U-238. De halfwaardetijd is de tijd die nodig is om de helft van de oorspronkelijke hoeveelheid om te zetten in thorium. De halfwaardetijd is voor elke radioactieve stof een bepaald constant getal. De halfwaardetijd van U-238 is ongeveer 4,468 10 9 jaar.

a

Omdat de halfwaardetijd voor een radioactieve stof een constant getal is, is de hoeveelheid H van die stof als functie van de tijd t te beschrijven met een formule van de vorm H ( t ) = H ( 0 ) e k t . Leg uit waarom dat zo is.

b

Op t = 0 heb je 1 kg U-238. Stel nu een formule op voor H ( t ) .

Neem t in miljarden jaren. k heet de desintegratieconstante.

c

Waarom is de desintegratieconstante niet afhankelijk van de hoeveelheid U-238 waarmee je begint?

Bij onderzoek in het menselijk lichaam gebruiken artsen de stof jodium-131. Die stof is radioactief en daardoor kunnen deeltjes ervan in het menselijk lichaam van buitenaf worden gevolgd. De halveringstijd (of halfwaardetijd) van jodium-131 is 8,06 dagen.

d

Bereken de desintegratieconstante van jodium-131.

e

Toon aan dat in dit model de vervalsnelheid recht evenredig is met de hoeveelheid radioactieve stof. Hoe groot is de bijbehorende evenredigheidsconstante?

f

Na hoeveel dagen is er nog 10% van de beginhoeveelheid over?

g

Na hoeveel dagen is de vervalsnelheid (de radioactiviteit) verminderd tot 10% van de beginsnelheid?

h

Als een meetnauwkeurigheid in mg van twee decimalen maximaal haalbaar is, na hoeveel dagen is de ingespoten 5 mg jodium-131 dan niet meer meetbaar? Is de stof ooit volledig verdwenen?

Opgave 5

Het verloop van de temperatuur van een huis is veel complexer dan dat van een afkoelende kop koffie of een opwarmend blikje cola. Denk bijvoorbeeld aan zonne-instraling, cv, tocht, etc. Toch spelen ook aan de basis hiervan exponentiële functies een rol. Je kijkt eerst naar een ruimte in de vorm van een balk, en verwaarloost tocht en zonnestraling. Hoe reageert de temperatuur van zo’n huis op het aan- en uitzetten van de cv? Ga uit van de situatie dat de buitentemperatuur constant gelijk is aan 10°C, en de binnentemperatuur gelijk aan 20°C. Als de cv niet aanstaat, dan heb je ongeveer de situatie van de afkoelende kop koffie: de snelheid waarmee de temparatuur T in huis daalt is recht evenredig met het temperatuursverschil met de buitentemperatuur.

a

Voor een bepaald huis is de waarde van de evenredigheidsconstante `c` gelijk aan `-0,0018` (eenheid: min-1). Hoe lang duurt het voor het binnen is afgekoeld tot `15` graden Celsius? En hoelang duurt het voor de temperatuur een halve graad is gezakt?

b

Hoeveel graden neemt de temperatuur in het begin af per minuut, en hoeveel na een uur?

Bij `19,5` graden zet je de cv aan. Dit zorgt voor een temperatuurstijging. Hoe groot zal deze worden? Dat hangt af van veel factoren, waarvan de belangrijkste zijn: de grootte van de cv-ketel, en de grootte van het warmteverlies naar de omgeving. Bij een grotere cv-ketel zal de eindtemperatuur ook hoger zijn. Stel dat de eindtemperatuur `T_c` voor dit huis `35` graden is (je zult lang daarvoor de cv natuurlijk uitschakelen, maar het gaat nu om de "evenwichtssituatie" die zal ontstaan als je de cv steeds aan laat staan). Hoe zal het temperatuurverloop zijn? Er geldt: `(text(d)T)/(text(d)t) = c * (T - T_c)` (waarbij `c` de zelfde evenredigheidsconstante is als in de situatie zonder cv!), en `T_c` de eindtemperatuur is in het geval dat de cv blijft aanstaan.

c

Ga na dat de temperatuur volgens de formule inderdaad stijgt.

d

Hoelang duurt het voor het weer 20 graden Celsius is?

Je wilt de temperatuur nu zo dicht mogelijk bij die `20` graden houden. Met een besturingssysteem zet je de cv nu steeds aan- en uit als je hier een halve graad van afzit. Je kunt dan de temperatuurkromme tekenen. Er ontstaat een soort zaagtand.

e

Hoe lang duurt het voor de cv weer afslaat? Hoe lang duurt het vervolgens voor hij opnieuw aanspringt? Wat is dus de periode van de temperatuurregeling? Welk deel van de tijd brandt de cv?

f

Stel je voor dat je de cv-ketel sneller kunt aansturen, door de cv te schakelen bij een kwart graad afwijking van de gewenste temperatuur. Hoelang wordt de periode dan? Welk deel van de tijd brandt de cv? Licht de antwoorden toe.

Als het buiten kouder wordt, kan de cv de ruimte minder goed verwarmen. De "evenwichtstemperatuur" zakt dan ook: de cv kan de ruimte tot maximaal 25 graden boven de buitentemperatuur verwarmen.

g

's Avonds koelt het buiten af tot 3 graden Celsius. Bereken nu in beide gevallen de periode en het percentage dat de cv brandt. De waarde van c blijft gelijk.

verder | terug