Exponentiële en logaritmische functies > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Testen

Opgave 1

Het aantal inwoners van een bepaalde stad B groeide vanaf 1990 met % per jaar. Op 01-01-2018 heeft deze stad inwoners.

Er wordt verondersteld dat de groei de komende jaren zo door gaat. Op het stadhuis is de volgende formule opgesteld:

Hierin is:

  • de tijd in jaren na 2018

  • het aantal inwoners van B

a

Laat zien dat deze formule inderdaad een bevolkingsgroei van % laat zien.

b

Hoeveel inwoners had B volgens dit groeimodel in 2000?

c

Hoeveel bedraagt de groeisnelheid 2018? En in 2028?

d

In welk jaar overstijgt het aantal inwoners van B volgens dit groeimodel de  mln?

Opgave 2

Je ziet hier hoe een hoeveelheid afneemt met de tijd in dagen.

a

Stel een bij deze grafiek passende formule op.

b

Voor welke waarde van (in één decimaal nauwkeurig) is ?

Opgave 3

Belangrijk nieuws verspreidt zich razendsnel. Het aantal leerlingen dat op een zeker tijdstip van een belangrijk feit op de hoogte is, wordt gegeven door de formule

Hierin is in uren en is om 09:00 uur.

a

Op grond van deze formule kun je concluderen dat het aantal leerlingen dat van een belangrijk feit op de hoogte is uiteindelijk ongeveer constant wordt? Leg uit waarom.

b

Geef een vergelijking van de asymptoot van de grafiek van .

c

Bereken algebraïsch op welk tijdstip er leerlingen van het feit gehoord hebben. Rond in het antwoord af op minuten.

d

Voor de snelheid waarmee het nieuws zich verspreidt geldt: . Hoe ziet de formule voor de snelheid van de nieuwsverspreiding er uit? Kun je op grond van deze formule dezelfde conclusies als bij a trekken?

e

Toon algebraïsch aan dat de grafiek van stijgend is.

f

Met welke snelheid verspreidt het nieuws zich om kwart voor 11? Geef het antwoord in gehelen per minuut.

g

Op welk tijdstip is de snelheid van de nieuwsverspreiding de helft van die om 09:00 uur? Geef dit tijdstip in minuten nauwkeurig.

Opgave 4

Hardlopers die regelmatig een bepaalde afstand lopen, zijn vaak nieuwsgierig naar hun eindtijd op een andere afstand. De Amerikaanse onderzoeker Pete Riegel stelde in 1977 de volgende formule op:

Hiermee kan met behulp van de bekende gemiddelde snelheid op een bepaalde afstand , de te verwachten gemiddelde snelheid op een andere afstand worden uitgerekend.

Hardlopers gebruiken vaak de volgende vuistregel: als de afstand verdubbelt, dan neemt je gemiddelde snelheid met % af.

a

Onderzoek of de bovenstaande formule aan deze vuistregel voldoet.

In de onderstaande tabel staan de wereldrecords hardlopen op de weg bij de heren op een aantal afstanden zoals ze in het jaar 2015 waren.

  Wereldtijd in 2015
Wedstrijd Afstand (m) Uren Minuten Seconden
km
km
mijl
km
halve marathon
km
km
marathon

In de hardloopsport wordt vaak gekeken naar de tijd die een hardloper gemiddeld over een kilometer doet. Dit wordt het looptempo genoemd.

b

Bereken het looptempo van het wereldrecord op de marathon in het jaar 2015. Geef je eindantwoord in hele minuten en seconden nauwkeurig.

In onderstaande figuur is de logaritme van de tijd in uren tegen de logaritme van de afstand in kilometers van de wereldrecords op de afstanden uit de tabel uitgezet. Deze punten liggen bij benadering op een rechte lijn, die ook in de figuur is getekend.

c

Bepaal met behulp van de lijn in de figuur het te verwachten wereldrecord hardlopen op een afstand van kilometer. Geef je eindantwoord in hele uren en minuten nauwkeurig.

Opgave 5

Het verloop van de temperatuur van een huis is veel complexer dan dat van een afkoelende kop koffie of een opwarmend blikje cola. Denk bijvoorbeeld aan zonne-instraling, cv, tocht, etc. Toch spelen ook aan de basis hiervan exponentiële functies een rol. Je kijkt eerst naar een ruimte in de vorm van een balk, en verwaarloost tocht en zonnestraling. Hoe reageert de temperatuur van zo’n huis op het aan- en uitzetten van de cv? Ga uit van de situatie dat de buitentemperatuur constant gelijk is aan 10°C, en de binnentemperatuur gelijk aan 20°C. Als de cv niet aanstaat, dan heb je ongeveer de situatie van de afkoelende kop koffie: de snelheid waarmee de temparatuur T in huis daalt is recht evenredig met het temperatuursverschil met de buitentemperatuur.

a

Voor een bepaald huis is de waarde van de evenredigheidsconstante gelijk aan (eenheid: min-1). Hoe lang duurt het voor het binnen is afgekoeld tot graden Celsius? En hoelang duurt het voor de temperatuur een halve graad is gezakt?

b

Hoeveel graden neemt de temperatuur in het begin af per minuut, en hoeveel na een uur?

Bij graden zet je de cv aan. Dit zorgt voor een temperatuurstijging. Hoe groot zal deze worden? Dat hangt af van veel factoren, waarvan de belangrijkste zijn: de grootte van de cv-ketel, en de grootte van het warmteverlies naar de omgeving. Bij een grotere cv-ketel zal de eindtemperatuur ook hoger zijn. Stel dat de eindtemperatuur voor dit huis graden is (je zult lang daarvoor de cv natuurlijk uitschakelen, maar het gaat nu om de "evenwichtssituatie" die zal ontstaan als je de cv steeds aan laat staan). Hoe zal het temperatuurverloop zijn? Er geldt: (waarbij de zelfde evenredigheidsconstante is als in de situatie zonder cv!), en de eindtemperatuur is in het geval dat de cv blijft aanstaan.

c

Ga na dat de temperatuur volgens de formule inderdaad stijgt.

d

Hoelang duurt het voor het weer 20 graden Celsius is?

Je wilt de temperatuur nu zo dicht mogelijk bij die graden houden. Met een besturingssysteem zet je de cv nu steeds aan- en uit als je hier een halve graad van afzit. Je kunt dan de temperatuurkromme tekenen. Er ontstaat een soort zaagtand.

e

Hoe lang duurt het voor de cv weer afslaat? Hoe lang duurt het vervolgens voor hij opnieuw aanspringt? Wat is dus de periode van de temperatuurregeling? Welk deel van de tijd brandt de cv?

f

Stel je voor dat je de cv-ketel sneller kunt aansturen, door de cv te schakelen bij een kwart graad afwijking van de gewenste temperatuur. Hoelang wordt de periode dan? Welk deel van de tijd brandt de cv? Licht de antwoorden toe.

Als het buiten kouder wordt, kan de cv de ruimte minder goed verwarmen. De "evenwichtstemperatuur" zakt dan ook: de cv kan de ruimte tot maximaal 25 graden boven de buitentemperatuur verwarmen.

g

's Avonds koelt het buiten af tot 3 graden Celsius. Bereken nu in beide gevallen de periode en het percentage dat de cv brandt. De waarde van c blijft gelijk.

verder | terug