Toepassen van formules > Evenredig en lineair
12345Evenredig en lineair

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

recht evenredig

b

Iets anders, namelijk er is een lineair verband tussen beide.

c

Omgekeerd evenredig.

Opgave 1
a

De autokosten per jaar worden dan ook twee keer zo hoog.

b

Een recht evenredig verband.

c

Als hij `20` kilometer rijdt, dan kost dat `1` liter brandstof van € 1,670.
Per gereden km is dat `1,670//20 = 0,835` .
Formule: `K/g = 0,0835` of `K = 0,0835g` .

d

`1806,44 = 0,0835g` geeft `g = (1806,44)/(0,0835)~~21634` km.

e

`0,0835g = 1750` geeft `g = 1750/(0,0835)~~20958,08` .

Plot de grafieken en lees af dat de ongelijkheid voldoet als `g le 20958,08` .
Hij kan in 2017 maximaal `20958` km rijden.

Opgave 2
a

Een lineair verband.

b

De formule wordt: `K = ag+b` .
Per `20` kilometer is het verbruik `1` liter brandstof van € 1,670.
De richtingscoëfficiënt is dus: `a = (1,670)/20 = 0,0835` .
Alle vaste jaarlijkse kosten samen is de beginwaarde `b = 1040 + 425 + 296 + 480 = 2241` .
De formule wordt: `K = 0,0835g + 2241` .

c

`0,0835g+2241 = 4000` geeft `0,0835g = 1759` en `g = 1759/(0,0835) ~~ 21065,9` .

Plot de grafieken en lees af dat de ongelijkheid klopt als `g le 21065,9` .
Ze kan in 2018 maximaal `21065` km rijden.

Opgave 3
a

`K` wordt dan twee keer zo groot.

b

Een omgekeerd evenredig verband.

c

`v*K = 32400` of `K = 32400/v`

d

`K = 32400/20 = 1620` euro.

e

`v*1705 = 32400` geeft `v = 32400/1705 ~~ 19` .
Het gemiddelde verbruik is ongeveer `1` liter op `19` kilometer.

f

`K = 32400/v + 2150` , dit is een hyperbolisch verband.

Opgave 4
a

Stijging per jaar tussen 1995 en 2000: `(95-88)/(2000-1995) = 1,4` leerlingen.

Dus in 1997: `88 + 2*1,4 = 90,8~~91` leerlingen.

b

Stijging per jaar tussen 2010 en 2015: `(114-102)/(2015-2010) = 2,4` leerlingen.

Dus in 2022: `114 + 7*2,4 = 130,8~~131` leerlingen.

c

Stijging per jaar tussen 1995 en 2000: `(95-88)/(2000-1995) = 1,4` leerlingen.

Dus in 1993: `88 - 2*1,4 = 85,2 ~~ 85` leerlingen.

Opgave 5
a

Stijging per jaar tussen 2000 en 2010: `(0,26-0,25)/(2000-1990) = 0,001` woningen per inwoner.

Dus in 2005: `0,25 + 5*0,001 = 0,255` woningen per inwoner.

b

Stijging per jaar tussen 2015 en 2020: `(0,30-0,27)/(2010-2005) = 0,006` woningen per inwoner.

Dus in 2024: `0,30 + 4*0,006 = 0,324` woningen per inwoner.

Opgave 6
a

`K_j = 1,20a`

b

`K = 1,20 a+70`

c

€ 1,20

d

€ 70,00

e

`1,20*195 + 70 = 304` euro.

f

De formule van `K_j` geeft een recht evenredig verband aan omdat de grafiek ervan een rechte lijn is die door de oorsprong gaat.

Opgave 7
a

`90/100 = 0,9` uur ofwel `54` minuten.

b

`90/v = 1,5` , geeft `v = 60` , dus `60` km/h.

c

`v = 90/t`

d

`t = 90/v`

e

In de formules `t = 90/v` en `v = 90/t` staan `v` en `t` in de noemer, dus mogen zij niet nul worden. Verder zijn tijd en snelheid niet negatief. Daarom geldt `t gt 0` en `v gt 0` .

Opgave 8
a

Punten die dicht bij elkaar liggen, geven vaak een onnauwkeurige of zelfs verkeerde helling.

b

`v = 5/3*21 - 8 = 27` %.

Opgave 9
a

De richtingscoëfficiënt wordt nu `(40-10)/(35-10) = 30/25 = 6/5` .
De formule voor de trendlijn wordt `v = 6/5 b + q` .
Een punt invullen geeft `q=text(-)2` en formule `v = 6/5 b - 2` .

b

`v = 6/5 *21 - 2 = 23,2` %.

Opgave 10
a

Stijging per kwartaal tussen 1-1-2013 en 1-1-2014: `(5500 - 4800)/4 = 175` vrouwelijke daklozen.

Dus op 1 april 2013: `4800 + 175 = 4975` vrouwelijke daklozen.

b

Stijging per kwartaal tussen 1-1-2014 en 1-1-2015: `(8300 - 6800)/4 = 175` daklozen.

Dus op 1 oktober 2016: `8300 + 7*375 = 10925` daklozen tussen de 18 en 30 jaar.

Opgave 11

Op 1 januari 2013 zijn er ongeveer `140` fazanten.
Op 1 januari 2014 zijn er ongeveer `160` fazanten.
De toename per jaar is dus ongeveer `20` .
Op 1 januari 2020 zijn er `280` fazanten en op 1 januari 2021 zijn er `300` , dus in juni 2020 zijn er ongeveer `290` fazanten.

Opgave 12
a

Voer in: `y_1 = 500/x` met venster bijvoorbeeld: `0 le x le 5` en `0 le y le 500` .

b

Iemand zegt: "Een verdubbeling van de prijs zorgt voor een halvering van de verkoop." Klopt dat?

De bewering is waar.

De bewering is niet waar.

c

Klopt deze bewering met de formule: "Als de prijs vijf keer zo hoog wordt, wordt de verkoop vijf keer zo klein."?

De bewering is waar.

De bewering is niet waar.

d

`p = 500/a` en `a*p = 500`

e

`p = 500/a = 500/300 ~~ 1,67` euro.

f

Bij `p = 0,01` is `a = 500/p = 500/(0,01) = 50000` kg.
Bij `p = 100` is `a = 500/p = 500/100 = 5` kg.

Het is onwaarschijnlijk dat dit in werkelijkheid ook zo zal zijn. Dit zijn onrealistische prijzen.

Opgave 13
a

`p = (2,25)/(0,45) = 5`

b
`300/k` `=` `4,70-4,50`
`300/k` `=` `0,20`
`k` `=` `300/(0,20) = 1500`
c
`1200/(k+12)` `=` `48`
`k+12` `=` `1200/48`
`k+12` `=` `25`
`k` `=` `13`
Opgave 14
a

`p*k = 13*15 = 195` ofwel `k = 195/p` .

b

`k=195/10=19,5` kg.

c

`k = 195/10 = 19,5` kg en de vaste verkoop `15` kg, dus de totale verkoop is `34,5` kg.

d

`k = 195/p + 15`

e

Voer in: `y_1 = 195/x + 15` en `y_2 = 40` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 20` en `0 le y le 50` .
Snijden geeft `x = 7,8` .
De prijs is `7,80` euro/kg.

f

`195/p+15 `

`=`

`40`

`195/p`

`=`

`25`

`p`

`=`

`7,8`

Dus `7,80` euro/kg.

Opgave 15
a

2000: van 1999 tot 2005 neemt het aantal auto's in zes jaar toe met `200000` .
In één jaar neemt het aantal personenauto's dan gemiddeld toe met `200000/6 ~~ 33333` auto's.
2000 is één jaar na 1999, dus in 2000 zijn er `4100000 + 33333 = 4133333` personenauto's.

2006: van 2005 tot 2007 neemt het aantal auto's in twee jaar toe met `50000` .
In één jaar neemt het aantal personenauto's dan gemiddeld toe met `50000/2=25000` auto's.
2006 is één jaar na 2005, dus in 2006 zijn er `4300000+25000=4325000` personenauto's.

b

2014: het aantal auto's neemt van 2009 tot 2010 in één jaar toe met `160000` .
2014 is vier jaar na 2010, dus het aantal auto's in 2014 is `4660000 + 4 * 160000 = 5300000` personenauto's.

2016: het aantal auto's in 2016 is dan `4660000 + 6 * 160000= 5620000` personenauto's.

c

Bepaal door extrapoleren het aantal personenauto's in Nederland in 1990. Bij a is berekend dat er van 1999 tot 2005 in zes jaar tijd per jaar afgerond `33333` auto's per jaar bijkomen. Terugrekenen naar 1990 geeft `4100000-33333 * 9 ~~ 3800003` .

In Nederland waren er toen 14,89 miljoen mensen. Er waren dus `3800003/14890000~~0,26` personenauto's per Nederlander.

d

Per auto waren er `14890000/3800003 ~~ 3,92` Nederlanders.

Opgave 16

De formule van een omgekeerd evenredig verband is bijvoorbeeld `y = a/x` .
`x = 10` en `x = 30` invullen geeft: `y = a/10` en `y = a/30` .
Als `x` toeneemt van `x = 10` naar `x = 30` dan neemt `y` af met `30` :

`a/10 - 30`

`=`

`a/30`

`3a - 900`

`=`

`a`

`2a`

`=`

`900`

`a`

`=`

`450`

De formule wordt: `x*y = 450` of `y = 450/x` of `x = 450/y` .

Opgave 17Benzinetoerisme
Benzinetoerisme
a

Een rit om te tanken is in totaal `200` km. Daarvoor is `20` liter benzine nodig. Dat kost `20 ⋅ 1,50 = 30` euro. Het voordeel is `75 − 30 = 35` euro.

b

Bij tanken in Nederland kan hij per `50` liter `500` gebruikskilometers rijden. `1` gebruikskilometer bij tanken in Nederland kost `0,30` euro. Bij tanken in het buitenland kan hij per `50` liter `300` gebruikskilometers rijden. `1` gebruikskilometer bij tanken in het buitenland kost `0,6` euro. Het voordeel per gebruikskilometer bij tanken in Nederland is `0,30` euro.

c

Bij tanken in Nederland kost een gebruikskilometer `N/16` (of `(60N)/96` ).
Bij tanken in het buitenland kan iemand per 60 liter `960 - 2x` gebruikskilometers rijden.
De `960 - 2x` gebruikskilometers kosten `60B` euro.
`1` gebruikskilometer kost `(60B)/(960 - 2x)` euro.
Vereenvoudigen geeft: `V = 0,0625N - (30B)/(480 - x)` .

d

Bij `x = 20` moet het voordeel `0` zijn, dus geldt:

`0`

`=`

`0,0625N - (30B)/(460)`

`0,0625N`

`=`

`(30B)/(460)`

`N`

`~~`

`1,04*B`

De conclusie, bijvoorbeeld: uit `N` is een constante groter dan `1` maal `B` volgt dat de benzineprijs in Nederland een vast percentage hoger is dan de benzineprijs in het buitenland, ongeacht de benzineprijs in het buitenland (of `N` is altijd `4` % hoger dan `B` ).

e

De afstand tot het dichtstbijzijnde benzinestation in het buitenland `x` waarbij er geen voordeel of nadeel is om daar te gaan tanken, volgt uit de vergelijking:

`0`

`=`

`0,0625N - (30B)/(480 - x)`

`0,0625N`

`=`

`(30B)/(480 - x)`

`x`

`=`

`480 - (30B)/(0,0625N)`

`x`

`=`

`480 - 480*B/N`

Dus voor die afstand `x` geldt: `x = 480*(1 - B/N)` .

(naar: examen vwo wiskunde A in 2004, eerste tijdvak)

Opgave 18Sterilisatie
Sterilisatie
a

Kies een punt op de lijn, bijvoorbeeld `(6, 10^2)` .
De bijbehorende vergelijking is:
`10^2 = 10^6 * 2^(text(-)r *6)`
Voer in: `y_1 = 10^6*2^(text(-)x*6)` en `y_2 = 10^2`
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 5` en `0 le y le 150` .
Snijden geeft `x~~2,2` .
De oplossing `r ~~ 2,2` .

of:

Kies een punt op de lijn, bijvoorbeeld `(6, 10^2)` .
`N(2,2) = 10^6*2^(text(-)2,2*6)~~106~~10^2`

b

`10` % van `10^6` is `10^5` , `r = 2,2` en `t = D` , dus:

`10^6*2^(text(-)2,2*D)`

`=`

`10^5`

`2^(text(-)2,2*D)`

`=`

`0,1`

Voer in: `y_1 = 2^(text(-)2,2*x)` en `y_2 = 0,1` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 5` en `0 le y le 0,2` .
Snijden geeft `x~~1,5` .
Dus `D~~1,5` .
Controle via de grafiek:
Een reductie tot `10` % is een eenheid op de verticale as omlaag. Op de horizontale as neemt de tijd dan toe met ongeveer `1,5` .

c

Het startpunt is `(0, 10^6)` . Een tweede punt is `(2,55; 10^5)` . Teken een rechte lijn door deze twee punten.

d

Er moet gelden:

`10^6*2^(text(-)r*D)`

`=`

`10^5`

`2^(text(-)r * D)`

`=`

` 0,1`

`text(-)r*D`

`=`

`(log(0,1))/(log(2))` of `text(-)r * D = \ ^2log(0,1))`

`r * D = text(constante)` (of `D = (text(constante))/r` ) en dus is er sprake van een omgekeerd evenredig verband.

(naar: examen wiskunde A1,2 in 2006, tweede tijdvak)

Opgave 19
a

Is er een omgekeerd evenredig verband tussen `W` en `f` ?

ja

nee

b

De golflengtes liggen tussen `0,011` en `22` meter.

c

Vleermuizen kunnen geluiden horen die wij niet horen. Soms wel geluiden met een frequentie van `120000` Hz. Is dit een hoog of juist laag geluid?

hoog geluid

laag geluid

d

De golflengte is `0,00275` meter.

e

`W(20) = 16,5` . Dus het gaat om een bas (lage toon) met een golflengte langer dan `16,5` meter.

f

`W` nadert tot `0` m.

Opgave 20
a

In 800 voor Chr.

b

`22130` voor Chr.

(bron: voorbeeldexamenopgaven wiskunde A in 2018)

verder | terug