recht evenredig
Iets anders, namelijk er is een lineair verband tussen beide.
Omgekeerd evenredig.
De autokosten per jaar worden dan ook twee keer zo hoog.
Een recht evenredig verband.
Als hij
`20`
kilometer rijdt, dan kost dat
`1`
liter brandstof van € 1,670.
Per gereden km is dat
`1,670//20 = 0,835`
.
Formule:
`K/g = 0,0835`
of
`K = 0,0835g`
.
`1806,44 = 0,0835g` geeft `g = (1806,44)/(0,0835)~~21634` km.
`0,0835g = 1750` geeft `g = 1750/(0,0835)~~20958,08` .
Plot de grafieken en lees af dat de ongelijkheid voldoet als
`g le 20958,08`
.
Hij kan in 2017 maximaal
`20958`
km rijden.
Een lineair verband.
De formule wordt:
`K = ag+b`
.
Per
`20`
kilometer is het verbruik
`1`
liter brandstof van € 1,670.
De richtingscoëfficiënt is dus:
`a = (1,670)/20 = 0,0835`
.
Alle vaste jaarlijkse kosten samen is de beginwaarde
`b = 1040 + 425 + 296 + 480 = 2241`
.
De formule wordt:
`K = 0,0835g + 2241`
.
`0,0835g+2241 = 4000` geeft `0,0835g = 1759` en `g = 1759/(0,0835) ~~ 21065,9` .
Plot de grafieken en lees af dat de ongelijkheid klopt als
`g le 21065,9`
.
Ze kan in 2018 maximaal
`21065`
km rijden.
`K` wordt dan twee keer zo groot.
Een omgekeerd evenredig verband.
`v*K = 32400` of `K = 32400/v`
`K = 32400/20 = 1620` euro.
`v*1705 = 32400`
geeft
`v = 32400/1705 ~~ 19`
.
Het gemiddelde verbruik is ongeveer
`1`
liter op
`19`
kilometer.
`K = 32400/v + 2150` , dit is een hyperbolisch verband.
Stijging per jaar tussen 1995 en 2000: `(95-88)/(2000-1995) = 1,4` leerlingen.
Dus in 1997: `88 + 2*1,4 = 90,8~~91` leerlingen.
Stijging per jaar tussen 2010 en 2015: `(114-102)/(2015-2010) = 2,4` leerlingen.
Dus in 2022: `114 + 7*2,4 = 130,8~~131` leerlingen.
Stijging per jaar tussen 1995 en 2000: `(95-88)/(2000-1995) = 1,4` leerlingen.
Dus in 1993: `88 - 2*1,4 = 85,2 ~~ 85` leerlingen.
Stijging per jaar tussen 2000 en 2010: `(0,26-0,25)/(2000-1990) = 0,001` woningen per inwoner.
Dus in 2005: `0,25 + 5*0,001 = 0,255` woningen per inwoner.
Stijging per jaar tussen 2015 en 2020: `(0,30-0,27)/(2010-2005) = 0,006` woningen per inwoner.
Dus in 2024: `0,30 + 4*0,006 = 0,324` woningen per inwoner.
`K_j = 1,20a`
`K = 1,20 a+70`
€ 1,20
€ 70,00
`1,20*195 + 70 = 304` euro.
De formule van `K_j` geeft een recht evenredig verband aan omdat de grafiek ervan een rechte lijn is die door de oorsprong gaat.
`90/100 = 0,9` uur ofwel `54` minuten.
`90/v = 1,5` , geeft `v = 60` , dus `60` km/h.
`v = 90/t`
`t = 90/v`
In de formules `t = 90/v` en `v = 90/t` staan `v` en `t` in de noemer, dus mogen zij niet nul worden. Verder zijn tijd en snelheid niet negatief. Daarom geldt `t gt 0` en `v gt 0` .
Punten die dicht bij elkaar liggen, geven vaak een onnauwkeurige of zelfs verkeerde helling.
`v = 5/3*21 - 8 = 27` %.
De richtingscoëfficiënt wordt nu
`(40-10)/(35-10) = 30/25 = 6/5`
.
De formule voor de trendlijn wordt
`v = 6/5 b + q`
.
Een punt invullen geeft
`q=text(-)2`
en formule
`v = 6/5 b - 2`
.
`v = 6/5 *21 - 2 = 23,2` %.
Stijging per kwartaal tussen 1-1-2013 en 1-1-2014: `(5500 - 4800)/4 = 175` vrouwelijke daklozen.
Dus op 1 april 2013: `4800 + 175 = 4975` vrouwelijke daklozen.
Stijging per kwartaal tussen 1-1-2014 en 1-1-2015: `(8300 - 6800)/4 = 175` daklozen.
Dus op 1 oktober 2016: `8300 + 7*375 = 10925` daklozen tussen de 18 en 30 jaar.
Op 1 januari 2013 zijn er ongeveer
`140`
fazanten.
Op 1 januari 2014 zijn er ongeveer
`160`
fazanten.
De toename per jaar is dus ongeveer
`20`
.
Op 1 januari 2020 zijn er
`280`
fazanten en op 1 januari 2021 zijn er
`300`
, dus in juni 2020 zijn er ongeveer
`290`
fazanten.
Voer in: `y_1 = 500/x` met venster bijvoorbeeld: `0 le x le 5` en `0 le y le 500` .
Iemand zegt: "Een verdubbeling van de prijs zorgt voor een halvering van de verkoop." Klopt dat?
De bewering is waar.
De bewering is niet waar.
Klopt deze bewering met de formule: "Als de prijs vijf keer zo hoog wordt, wordt de verkoop vijf keer zo klein."?
De bewering is waar.
De bewering is niet waar.
`p = 500/a` en `a*p = 500`
`p = 500/a = 500/300 ~~ 1,67` euro.
Bij
`p = 0,01`
is
`a = 500/p = 500/(0,01) = 50000`
kg.
Bij
`p = 100`
is
`a = 500/p = 500/100 = 5`
kg.
Het is onwaarschijnlijk dat dit in werkelijkheid ook zo zal zijn. Dit zijn onrealistische prijzen.
`p = (2,25)/(0,45) = 5`
`300/k` | `=` | `4,70-4,50` | |
`300/k` | `=` | `0,20` | |
`k` | `=` | `300/(0,20) = 1500` |
`1200/(k+12)` | `=` | `48` | |
`k+12` | `=` | `1200/48` | |
`k+12` | `=` | `25` | |
`k` | `=` | `13` |
`p*k = 13*15 = 195` ofwel `k = 195/p` .
`k=195/10=19,5` kg.
`k = 195/10 = 19,5` kg en de vaste verkoop `15` kg, dus de totale verkoop is `34,5` kg.
`k = 195/p + 15`
Voer in:
`y_1 = 195/x + 15`
en
`y_2 = 40`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 20`
en
`0 le y le 50`
.
Snijden geeft
`x = 7,8`
.
De prijs is
`7,80`
euro/kg.
`195/p+15 ` |
`=` |
`40` |
|
`195/p` |
`=` |
`25` |
|
`p` |
`=` |
`7,8` |
Dus `7,80` euro/kg.
2000: van 1999 tot 2005 neemt het aantal auto's in zes jaar toe met
`200000`
.
In één jaar neemt het aantal personenauto's dan gemiddeld toe met
`200000/6 ~~ 33333`
auto's.
2000 is één jaar na 1999, dus in 2000 zijn er
`4100000 + 33333 = 4133333`
personenauto's.
2006: van 2005 tot 2007 neemt het aantal auto's in twee jaar toe met
`50000`
.
In één jaar neemt het aantal personenauto's dan gemiddeld toe met
`50000/2=25000`
auto's.
2006 is één jaar na 2005, dus in 2006 zijn er
`4300000+25000=4325000`
personenauto's.
2014: het aantal auto's neemt van 2009 tot 2010 in één jaar toe met
`160000`
.
2014 is vier jaar na 2010, dus het aantal auto's in 2014 is
`4660000 + 4 * 160000 = 5300000`
personenauto's.
2016: het aantal auto's in 2016 is dan `4660000 + 6 * 160000= 5620000` personenauto's.
Bepaal door extrapoleren het aantal personenauto's in Nederland in 1990. Bij a is berekend dat er van 1999 tot 2005 in zes jaar tijd per jaar afgerond `33333` auto's per jaar bijkomen. Terugrekenen naar 1990 geeft `4100000-33333 * 9 ~~ 3800003` .
In Nederland waren er toen 14,89 miljoen mensen. Er waren dus `3800003/14890000~~0,26` personenauto's per Nederlander.
Per auto waren er `14890000/3800003 ~~ 3,92` Nederlanders.
De formule van een omgekeerd evenredig verband is bijvoorbeeld
`y = a/x`
.
`x = 10`
en
`x = 30`
invullen geeft:
`y = a/10`
en
`y = a/30`
.
Als
`x`
toeneemt van
`x = 10`
naar
`x = 30`
dan neemt
`y`
af met
`30`
:
`a/10 - 30` |
`=` |
`a/30` |
|
`3a - 900` |
`=` |
`a` |
|
`2a` |
`=` |
`900` |
|
`a` |
`=` |
`450` |
De formule wordt: `x*y = 450` of `y = 450/x` of `x = 450/y` .
Een rit om te tanken is in totaal `200` km. Daarvoor is `20` liter benzine nodig. Dat kost `20 ⋅ 1,50 = 30` euro. Het voordeel is `75 − 30 = 35` euro.
Bij tanken in Nederland kan hij per `50` liter `500` gebruikskilometers rijden. `1` gebruikskilometer bij tanken in Nederland kost `0,30` euro. Bij tanken in het buitenland kan hij per `50` liter `300` gebruikskilometers rijden. `1` gebruikskilometer bij tanken in het buitenland kost `0,6` euro. Het voordeel per gebruikskilometer bij tanken in Nederland is `0,30` euro.
Bij tanken in Nederland kost een gebruikskilometer
`N/16`
(of
`(60N)/96`
).
Bij tanken in het buitenland kan iemand per 60 liter
`960 - 2x`
gebruikskilometers rijden.
De
`960 - 2x`
gebruikskilometers kosten
`60B`
euro.
`1`
gebruikskilometer kost
`(60B)/(960 - 2x)`
euro.
Vereenvoudigen geeft:
`V = 0,0625N - (30B)/(480 - x)`
.
Bij `x = 20` moet het voordeel `0` zijn, dus geldt:
`0` |
`=` |
`0,0625N - (30B)/(460)` |
|
`0,0625N` |
`=` |
`(30B)/(460)` |
|
`N` |
`~~` |
`1,04*B` |
De conclusie, bijvoorbeeld: uit `N` is een constante groter dan `1` maal `B` volgt dat de benzineprijs in Nederland een vast percentage hoger is dan de benzineprijs in het buitenland, ongeacht de benzineprijs in het buitenland (of `N` is altijd `4` % hoger dan `B` ).
De afstand tot het dichtstbijzijnde benzinestation in het buitenland `x` waarbij er geen voordeel of nadeel is om daar te gaan tanken, volgt uit de vergelijking:
`0` |
`=` |
`0,0625N - (30B)/(480 - x)` |
|
`0,0625N` |
`=` |
`(30B)/(480 - x)` |
|
`x` |
`=` |
`480 - (30B)/(0,0625N)` |
|
`x` |
`=` |
`480 - 480*B/N` |
Dus voor die afstand `x` geldt: `x = 480*(1 - B/N)` .
(naar: examen vwo wiskunde A in 2004, eerste tijdvak)
Kies een punt op de lijn, bijvoorbeeld
`(6, 10^2)`
.
De bijbehorende vergelijking is:
`10^2 = 10^6 * 2^(text(-)r *6)`
Voer in:
`y_1 = 10^6*2^(text(-)x*6)`
en
`y_2 = 10^2`
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 5`
en
`0 le y le 150`
.
Snijden geeft
`x~~2,2`
.
De oplossing
`r ~~ 2,2`
.
of:
Kies een punt op de lijn, bijvoorbeeld
`(6, 10^2)`
.
`N(2,2) = 10^6*2^(text(-)2,2*6)~~106~~10^2`
`10` % van `10^6` is `10^5` , `r = 2,2` en `t = D` , dus:
`10^6*2^(text(-)2,2*D)` |
`=` |
`10^5` |
|
`2^(text(-)2,2*D)` |
`=` |
`0,1` |
Voer in:
`y_1 = 2^(text(-)2,2*x)`
en
`y_2 = 0,1`
.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 5`
en
`0 le y le 0,2`
.
Snijden geeft
`x~~1,5`
.
Dus
`D~~1,5`
.
Controle via de grafiek:
Een reductie tot
`10`
% is een eenheid op de verticale as omlaag. Op de horizontale as neemt de tijd dan
toe met ongeveer
`1,5`
.
Het startpunt is `(0, 10^6)` . Een tweede punt is `(2,55; 10^5)` . Teken een rechte lijn door deze twee punten.
Er moet gelden:
`10^6*2^(text(-)r*D)` |
`=` |
`10^5` |
|
`2^(text(-)r * D)` |
`=` |
` 0,1` |
|
`text(-)r*D` |
`=` |
`(log(0,1))/(log(2))` of `text(-)r * D = \ ^2log(0,1))` |
`r * D = text(constante)` (of `D = (text(constante))/r` ) en dus is er sprake van een omgekeerd evenredig verband.
(naar: examen wiskunde A1,2 in 2006, tweede tijdvak)
Is er een omgekeerd evenredig verband tussen `W` en `f` ?
ja
nee
De golflengtes liggen tussen `0,011` en `22` meter.
Vleermuizen kunnen geluiden horen die wij niet horen. Soms wel geluiden met een frequentie van `120000` Hz. Is dit een hoog of juist laag geluid?
hoog geluid
laag geluid
De golflengte is `0,00275` meter.
`W(20) = 16,5` . Dus het gaat om een bas (lage toon) met een golflengte langer dan `16,5` meter.
`W` nadert tot `0` m.
In 800 voor Chr.
`22130` voor Chr.
(bron: voorbeeldexamenopgaven wiskunde A in 2018)