Toepassen van formules > Evenredig en lineairToepassen
Lees de tekst uit een artikel in een landelijk dagblad in augustus 2005.
| ..... De enige reden waarom de benzine in Nederland niet veel duurder mag zijn dan in België of in Duitsland is het benzinetoerisme. Hoe groter het prijsverschil, hoe meer kilometers mensen afleggen om goedkoop te tanken aan gene zijde. Stel de prijs in Nederland is € 3,00 per liter en die in Duitsland is € 1,50 per liter, dan levert een volle tank van 50 liter een voordeel op van € 75,00. Bij een verbruik van 1 op 10 betaalt een benzinetoerist 15 cent per kilometer aan benzine (de Duitse prijs) en kan hij voor het uitgespaarde bedrag 500 kilometer rijden, dat is 250 km heen en weer. Bij een dergelijk prijsverschil zou zelfs iemand uit Alkmaar nog in Duitsland kunnen gaan tanken, ware het niet dat hij met een halfvolle tank zou moeten vertrekken om de grens te halen en met een half lege thuis zou komen ..... |
Om meer inzicht te krijgen in de voor- en nadelen van tanken in het buitenland bekijk
je in de vragen a en b een vereenvoudigd voorbeeld:
Jan gebruikt zijn auto voor het doen van boodschappen en voor het afleggen van familiebezoekjes
in de directe omgeving. Hij woont op
`100`
km afstand van het dichtstbijzijnde buitenlandse tankstation. Hij maakt een aparte
rit als hij in het buitenland gaat tanken. Als hij in Nederland tankt, dan hoeft hij
daar niet extra voor te rijden. Hij rijdt
`1`
op
`10`
, dat wil zeggen dat zijn auto met
`1`
liter benzine
`10`
kilometer rijdt. Als hij tankt, dan tankt hij altijd precies
`50`
liter.
Ga uit van de in het artikel genoemde benzineprijzen. Jan redeneert op de manier van
het artikel:
"mijn voordeel is € 2,00 per liter; zelfs als ik daar de kosten voor het heen en weer
rijden van aftrek, heb ik nog voordeel"
.
Laat met een berekening zien dat het voordeel van Jan per keer dat hij in het buitenland
gaat tanken, volgens deze redenering, € 70,00 bedraagt.
Jan merkt al snel dat er iets mis is met zijn redenering. Hij is meer geld kwijt dan toen hij in Nederland tankte. Om een eerlijke vergelijking te maken tussen tanken in Nederland en tanken in het buitenland moet hij voor beide situaties de kosten berekenen per gebruikskilometer. Een gebruikskilometer is elke afgelegde kilometer die niet gereden wordt om te tanken. In Jans geval is er dus sprake van het afleggen van gebruikskilometers bij bijvoorbeeld familiebezoekjes of boodschappen doen.
Hoe groot is het voordeel voor Jan per gebruikskilometer bij tanken in Nederland vergeleken met tanken in het buitenland? Licht je antwoord toe met een berekening.
Bekijk nu een wat algemenere situatie: de benzineprijs in Nederland noem je
`N`
(euro per liter), de benzineprijs in het buitenland noem je
`B`
(euro per liter) en de afstand tot het dichtstbijzijnde buitenlandse tankstation
noem je
`x`
(km).
Voor het voordeel bij tanken in het buitenland
`V`
(euro) per gebruikskilometer geldt dan:
`V = 0,0625*N - (30*B)/(480 - x)`
Ga ervan uit dat:
-
auto's `1` op `16` rijden: elke auto rijdt `16` km op `1` liter benzine;
-
een eigenaar van een auto bij een tankbeurt altijd `60` liter tankt;
-
een eigenaar van een auto altijd een aparte rit maakt om in het buitenland te tanken;
-
een eigenaar van een auto niet extra hoeft te rijden om in Nederland te tanken.
Toon aan dat deze formule juist is.
Men wil de benzineprijs in Nederland zodanig vaststellen dat er geen voordeel bij tanken in het buitenland is voor mensen die `20` kilometer of verder van het dichtstbijzijnde buitenlandse tankstation wonen. De benzineprijs in Nederland is dan een vast percentage hoger dan de benzineprijs in het buitenland ongeacht de benzineprijs in het buitenland.
Toon dat aan.
De literprijs van benzine verandert geregeld. Daarmee verandert ook de afstand tot
het dichtstbijzijnde tankstation in het buitenland waarbij er geen voordeel of nadeel
is om daar te gaan tanken.
Toon aan dat uit
`V = 0,0625*N - (30*B)/(480 - x)`
volgt dat deze afstand gelijk is aan:
`480*(1 - B/N)`
.
(naar: examen vwo wiskunde A in 2004, eerste tijdvak)
Om voedingswaren tegen bederf te beschermen, worden ze tijdelijk verhit. Dit heet steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethodes. In deze opgave kijk je naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is `121` °C. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld, zullen er meer bacteriën overleven. Bekijk de overlevingsgrafiek van een bepaalde bacterie.
Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling. Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op `1` miljoen. Ga er steeds van uit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft.
Bij de grafiek hoort een formule van de vorm:
`N(t) = 10^6*2^(text(-)r*t)`
Hierin is
`N`
het aantal bacteriën na
`t`
minuten en is
`r`
de sterftefactor. De sterftefactor is afhankelijk van het type bacteriën.
Met behulp van de grafiek kun je berekenen dat de sterftefactor `r` van deze bacterie ongeveer gelijk is aan `2,2` . Toon dat met een berekening aan.
De `D` -waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot `10` % van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de `D` -waarde afhankelijk van de soort bacteriën.
Bereken voor deze bacterie de `D` -waarde met behulp van de formule en leg uit hoe je deze `D` -waarde kunt controleren met behulp van de grafiek.
Men heeft ook van andere bacteriën de `D` -waarde bepaald. Voor deze bacterie is de `D` -waarde gelijk aan `2,55` minuten. Met dit gegeven kun je de overlevingsgrafiek van deze bacterie tekenen. Ook voor deze overlevingsgrafiek begin je weer met `1` miljoen bacteriën.
Teken deze overlevingsgrafiek. Licht je werkwijze toe.
Voor elk type bacteriën kun je de `D` -waarde berekenen wanneer je de sterftefactor `r` kent. Daarvan heb je in b een voorbeeld gezien. Wanneer je dat voor een aantal typen bacteriën doet, blijkt dat `D` en `r` omgekeerd evenredig zijn.
Toon aan, door gebruik te maken van de formule `N(t) = 10^6*2^(text(-)2,2*t)` dat tussen `D` en `r` een omgekeerd evenredig verband bestaat.
(naar: examen wiskunde A1,2 in 2006, tweede tijdvak)