Toepassen van formules > Formules herleidenAntwoorden van de opgaven
`A = 1,1^(2t + 11) = 1,1^(2t)*1,1^11 = 1,1^11*(1,1^2)^t ~~ 2,85*1,21^t`
`A = 1,1^(2t + 11)` geeft `2t + 11 = \ ^(1,1)log(A)` en `t = (\ ^(1,1)log(A) - 11)/2` .
`A = 1,1^(2*10+11) ~~ 19` cm.
`t = (\ ^(1,1)log(45)-11)/2 ~~ 14,47` , dus de aap is ongeveer `54` jaar oud.
| `y` | `=` | `5^(3x+2)` |
gebruik
`a^(p+q) = a^p*a^q`
|
| `y` | `=` | `5^(3x)*5^2` |
gebruik
`(a^p)^q = a^(p*q)`
|
| `y` | `=` | `(5^3)^x*5^2` |
gebruik
`a*b = b*a`
|
| `y` | `=` | `5^2*(5^3)^x` |
machten berekenen
|
| `y` | `=` | `25*125^x` |
| `4x+3` | `=` | `\ ^2log(y)` |
als
`x = \ ^glog(y)`
dan
`y = g^x`
|
| `y` | `=` | `2^(4x+3)` |
gebruik
`a^(p+q) = a^p*a^q`
|
| `y` | `=` | `2^(4x)*2^3` |
gebruik
`(a^p)^q = a^(p*q)`
|
| `y` | `=` | `(2^4)^x*2^3` |
gebruik
`a*b = b*a`
|
| `y` | `=` | `2^3*(2^4)^x` |
machten berekenen
|
| `y` | `=` | `8*16^x` |
`q = 300 - 0,5*200 = 200` spelcomputers.
Voer in:
`y_1 = text(-)0,5x^2 + 315x - 10200`
met venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 600`
en
`0 le y le 35000`
.
Bepaal het maximum van de grafiek, je vindt
`x ~~ 315,00`
en
`y = 39412,5`
.
De winst per dag is maximaal als de spelcomputers € 315,00 per stuk kosten, de maximale
winst per dag is dan € 39412,50.
|
`q` |
`=` |
`300-0,5p` |
|
|
`300-0,5p` |
`=` |
`q` |
|
|
`text(-)0,5p` |
`=` |
`text(-)300+q` |
|
|
`p` |
`=` |
`600-2q` |
|
`W` |
`=` |
`qp-10200+15p` |
vul
`600-2q`
op de plaats van
`p`
in
|
|
`W` |
`=` |
`q(600-2q)-10200+15(600-2q)` |
haakjes wegwerken
|
|
`W` |
`=` |
`600q-2q^2-10200+9000-30q` |
herleiden
|
|
`W` |
`=` |
`text(-)2q^2+570q-1200` |
Voer in:
`y_1 = text(-)2x^2 + 570x - 1200`
met venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 600`
en
`0 le y le 35000`
.
Bepaal het maximum van de grafiek, je vindt
`x ~~ 142,50`
en
`y = 39412,5`
.
De maximale winst per dag is € 39412,50 net als bij b.
Om deze maximale winst te behalen moeten er
`142,5`
spelcomputers verkocht worden, dat gaat niet. Dus er moeten
`142`
of
`143`
spelcomputers per dag verkocht worden. De winst is dan € 39412,00.
`K = 5p + 7b + 20` geeft `K = 5p + 7*3p + 20` en `K = 26p + 20` .
`K = text(-)4p + 3*(8p-2) - 8` wordt `K = text(-)4p + 24p - 6 - 8` en `K = 20p - 14` .
`p = K/(2b)`
geeft
`K = p*2b`
.
Invullen:
`K = p*2*5p`
wordt
`K = 10p^2`
.
`p = 2a - 8` wordt `a = 4 + 0,5p`
Invullen: `K = p*(4+0,5p)` wordt `K = 4p+0,5p^2` .
Voor
`T = 10`
geldt
`R = 15 + (7,2)/(0,0785 - 0,0034*10) ~~ 177`
.
Voor
`T = 20`
geldt
`R = 15 + (7,2)/(0,0785 - 0,0034*20) ~~ 701`
.
Dus de overlevingstijd is `701/177 ~~ 4` keer zo groot.
`5` uur is `300` minuten.
| `300` | `=` | `15+(7,2)/(0,0785-0,0034T)` | |
| `285` | `=` | `(7,2)/(0,0785-0,0034T)` | |
| `0,0785-0,0034T` | `=` | `(7,2)/285` | |
| `T` | `=` | `((7,2)/285-0,0785)/(text(-)0,0034)~~16` °C |
Je vindt `T = 16` °C, hetzelfde antwoord als bij b.
| `y` | `=` | `(4-x)/x` | |
| `xy` | `=` | `4-x` | |
| `xy+x` | `=` | `4` | |
| `x(y+1)` | `=` | `4` | |
| `x` | `=` | `4/(y+1)` |
| `y` | `=` | `1/(4+x)` | |
| `y(4+x)` | `=` | `1` | |
| `4y+xy` | `=` | `1` | |
| `xy` | `=` | `1-4y` | |
| `x` | `=` | `(1-4y)/y` |
| `y` | `=` | `4-1/x` | |
| `y-4` | `=` | `text(-)1/x` | |
| `x(y-4)` | `=` | `text(-)1` | |
| `x` | `=` | `text(-)1/(y-4)` |
| `y` | `=` | `(5x-10)/(x-3)` | |
| `y(x-3)` | `=` | `5x-10` | |
| `xy-3y` | `=` | `5x-10` | |
| `xy-5x` | `=` | `3y-10` | |
| `x(y-5)` | `=` | `3y-10` | |
| `x` | `=` | `(3y-10)/(y-5)` |
| `y` | `=` | `75-(3,8)/(3,034+8,0075x)` |
beide zijden
`-75`
|
| `y-75` | `=` | `text(-)(3,8)/(3,034+8,0075x)` |
beide zijden
`xx(3,034+8,0075x)`
|
| `(y-75)(3,034+8,0075x)` | `=` | `text(-)3,8` |
haakjes wegwerken
|
| `3,034y+8,0075xy-227,55-600,5625x` | `=` | `text(-)3,8` |
termen zonder
`x`
naar rechts
|
| `8,0075xy-600,5625x` | `=` | `text(-)3,8-3,034y+227,55` |
herleiden
|
| `8,0075xy-600,5625x` | `=` | `text(-)3,034y+223,75` |
breng
`x`
buiten haakjes
|
| `x(8,0075y-600,5625)` | `=` | `text(-)3,034y +223,75 ` |
beide zijden
`:(8,0075y-600,5625)`
|
| `x` | `=` | `(text(-)3,034y +223,75 )/(8,0075y-600,5625)` |
`B = 119,6*10 + 49,28*2 + 0,39*40 = 1310,16` mL.
Voor hem geldt:
`S = 0`
,
`D = 0`
en
`V = 90`
. Invullen geeft:
`a = 170 - 4,55*90 + 0,049*90^2 = 157,4`
`b = 0,0077*90^2 = 62,37`
Invullen in de formule geeft:
`B = 157,4*L + 62,37*0 + 0,39*0`
en
`B = 157,4L`
.
Dit is een recht evenredig verband.
Eerst schrijf je `q = 300 - p` als `p = 300 - q = text(-)q + 300` . Dit invullen geeft `TO = (text(-)q+300)*q = text(-)q^2+300q` .
`TW = TO - TK = (text(-)q^2 + 300q) - (40q + 6900)` en `TW = text(-)q^2 + 260q - 6900` .
Voer in:
`y_1 = text(-)x^2 + 260x - 6900`
met venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 240`
en
`text(-)100 le y le 10000`
.
De GR geeft
`x = 30`
of
`x = 230`
.
Dus voor
`30 lt q lt 230`
wordt winst gemaakt.
Schrijf
`r = 2q - 12`
als
`2q = r + 12`
en
`q = 0,5r + 6`
.
Invullen geeft:
`P = 4(0,5r + 6) + 6r + 48 = 8r + 72`
.
Dit schrijf je als
`8r = P - 72`
en
`r = 1/8 P - 9`
.
Dus
`a = 8`
,
`b = 72`
,
`c = 1/8`
,
`d = text(-)9`
.
| `m` | `=` | `(1,25a+65)/a` | |
| `am` | `=` | `1,25a+65` | |
| `am-1,25a` | `=` | `65` | |
| `a(m-1,25)` | `=` | `65` | |
| `a` | `=` | `65/(m-1,25)` |
`R = q(1200 - 3q) = 1200q - 3q^2`
`K = 10q`
`W = R - K = 1200q - 3q^2 - 10q = 1190q - 3q^2`
Voer in: `y_1 = 1190x - 3x^2` met venster bijvoorbeeld: `0 le x le 400` en `0 le y le 150000` .
De GR geeft een maximum bij
`x~~198,33`
van
`y~~118008,33`
.
De maximale winst is ongeveer € 118008,33.
Voer in: `y_1 = 100x^3 - 600x^2 + 1300x` met venster bijvoorbeeld: `0 le x le 10` en `0 le y le 10000` .
Maak een tabel bij de formule van `TK` op de GR. Hij past redelijk goed bij de gegeven tabel.
`TW = TO - TK = 2250q - (100q^3 - 600q^2 + 1300q) = text(-)100q^3 + 600q^2 + 950q`
Voer in:
`y_1 = text(-)100x^3 + 600x^2 + 950x`
met venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 10`
en
`0 le y le 10000`
.
Met de GR vind je een maximum bij
`x ~~ 4,677`
.
De winst is maximaal bij een productie van ongeveer
`4677`
kg.
`g^5730 = 0,5` geeft `g = 0,5^(1/5730) ~~ 0,999879` .
`Q = 100*0,99988^60000 ~~ 0,07` %.
Uit
`Q = 100*0,99988^t`
volgt:
`0,99988^t = Q/100`
en
`t = (ln(Q/100))/(ln(0,99988)) = (ln(Q) - ln(100))/(ln(0,99988))`
.
Dit is bij benadering gelijk aan
`t = (ln(Q) - 4,6052)/(text(-)0,00012)`
.
(bron: voorbeeldexamenopgaven in 2018)
`M = 0,16*D^2*L = 0,16*(0,0042*t + 0,072)^2*0,75*t = `
`0,16*(0,0042^2*t^2 + 2*0,0042*0,072*t + 0,072^2)*0,75*t`
Verder uitwerken:
`M = 0,16*0,0042^2*0,75*t^3 + 0,16*2*0,0042*0,072*0,75*t^2 + 0,16*0,072^2*0,75*t`
.
`a = 0,16*0,0042^2*0,75 ~~ 2*10^(text(-)6)`
\
`b = 0,16*2*0,0042*0,072*0,75 ~~ 7*10^(text(-)5)`
`c = 0,16*0,072^2*0,75 ~~ 6*10^(text(-)4)`
(naar: examen vwo wiskunde A in 2007, eerste tijdvak)
`H = 2,5`
,
`V = 35`
,
`d = 70`
,
`p = 5`
(voor een maximale oppervlakte gebruik je het minimale verliespercentage).
Invullen in de formule geeft:
|
`2,5` |
`=` |
`(10*A*70)/(35*(100-5))` |
|
|
`2,5` |
`=` |
`(700A)/3325` |
|
|
`700A` |
`=` |
`2,5*3325` |
|
|
`700A` |
`=` |
`8312,5` |
|
|
`A` |
`=` |
`11,875` m2 |
Met deze gegevens ingevuld, is de formule:
|
`15` |
`=` |
`(10*A*60)/(67*(100-p))` |
|
|
`600A` |
`=` |
`15*67*(100-p)` |
|
|
`600A` |
`=` |
`100500-1005p` |
|
|
`A` |
`=` |
`167,5-1,675p` |
Dit is een lineair verband.
(naar: examen havo wiskunde A in 2009, tweede tijdvak)
Op 30 januari geldt:
`n = 30`
Als
`n = 30`
, dan geldt
`B~~8,832`
.
De bezonning is dan
`8`
uur en
`50`
minuten.
Het antwoord is 17:17 uur.
Maak gebruik van `Btext(-zuid) + Btext(-noord) = B` .
(naar: examen vwo wiskunde A in 1991, eerste tijdvak)
| `q` | `=` | `12-0,1p` | |
| `q-12` | `=` | `text(-)0,1p` | |
| `text(-)10q+120` | `=` | `p` | |
| `p` | `=` | `120-10q` |
`0 < q < 12`
`TO = 120q - 10q^2`
`TW = text(-)1,5q^3 + 12,5q^2`
`p ≈ 64,44` euro.
Bij een afzet van `7500` stuks.
In de 19e eeuw deed Fechner onderzoek naar de esthetische waarde die door velen aan de gulden snede wordt toegekend. Hij liet een aantal mensen rechthoeken zien waarvan de verhouding tussen de lengte en de breedte telkens verschillend was. Aan deze mensen werd gevraagd welke rechthoek zij het mooist vonden. Uit het onderzoek bleek dat rechthoeken waarvan de verhouding van de lengte en de breedte ongeveer de gulden snede opleverde, het meest werden uitgekozen. Mede op grond van deze resultaten stelde Petrov een formule op waarmee hij deze voorkeur wilde uitdrukken in een getal. Hij noemde dit de appreciatiewaarde `A` van de rechthoek en kwam met de volgende formule:
`A = (1/v - 1)*log(1 - 1/v)`
In deze formule is
`v`
de verhouding tussen de langste zijde en de kortste zijde van de rechthoek:
`v = (text(langste zijde))/(text(kortste zijde))`
De formule van Petrov werd oorspronkelijk op een iets andere manier opgeschreven dan
hier.
Welke van deze formules komt overeen met de oorspronkelijke formule van Petrov? Licht
je antwoord toe.
`A = (v - 1)/v*log(v/(v - 1))`
`A = (1 - v)/v*log(v/(v - 1))`
`A = v/(v-1)*log((v-1)/v)`
(naar: examen vwo wiskunde A in 2007, eerste tijdvak)