Toepassen van formules > Redeneren met formulesToepassen
Bij het ontwerpen van gebouwen besteedt men aandacht aan de mogelijke bezonning. Daarbij gaat men uit van een altijd wolkenloze hemel. In deze opgave beperken we ons tot gebouwen met rechte verticale gevels die niet in de schaduw van andere gebouwen staan. Verder gaan we uit van een jaar met `365` dagen. Bekijk de tabel met het aantal dagen per kalendermaand.
| maand | aantal dagen | maand | aantal dagen | maand | aantal dagen |
| januari | 31 | mei | 31 | september | 30 |
| februari | 28 | juni | 30 | oktober | 31 |
| maart | 31 | juli | 31 | november | 30 |
| april | 30 | augustus | 31 | december | 31 |
Voor het dagelijkse aantal uren zonneschijn
`B`
bij een altijd wolkenloze hemel geldt de formule:
`B = 12,3 + 4,6*sin(0,0172*(n - 80))`
Hierin is
`n`
het nummer van de dag. Er geldt
`n = 1`
voor 1 januari.
Toon door berekening aan dat 13 april de eerste dag van het jaar is waarop de zon langer dan 14 uur schijnt.
Er is een groot verschil tussen het maximale en het minimale dagelijkse aantal uren zonneschijn. Bereken aan de hand van de formule voor `B` dit verschil in minuten nauwkeurig.
(naar: examen vwo wiskunde A in 1991, eerste tijdvak)
In de Amerikaanse industrie is ooit onderzocht hoe snel werknemers leren wanneer zij een handeling vaker verrichten. Van een groot aantal werknemers is bijgehouden hoeveel tijd ze nodig hadden om een bepaalde handeling voor de eerste keer te verrichten, hoeveel tijd voor de tweede keer, enzovoort. Zo bleken werknemers `16` minuten nodig te hebben om handeling `A` voor de eerste keer te verrichten. Bij de tweede keer was die handelingstijd `12,8` minuten. Dus wanneer een werknemer handeling `A` twee keer heeft uitgevoerd, is zijn gemiddelde handelingstijd `14,4` minuten. Bekijk deze `(16 + 12,8)/2 = 14,4` minuten in de tabel. De andere waarden in deze tabel zijn op een vergelijkbare manier berekend.
| aantal keren dat handeling `A` is verricht ( `n` ) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| gemiddelde handelingstijd (min) | 16 | 14,4 | 13,1 | 12,1 | 11,3 | 10,7 |
Met behulp van de tabel kun je berekenen dat een werknemer
`8,1`
minuten nodig heeft om handeling
`A`
voor de vijfde keer te verrichten.
Geef zo’n berekening.
Om de gemiddelde handelingstijd
`H_n`
uit te rekenen voor meer dan zes handelingen is het handig te beschikken over een
formule voor
`H_n`
. Hiertoe zijn verschillende pogingen ondernomen. Eén zo'n poging resulteerde in de
formule:
`H_n = 0,14n^2 - 2n + 17,8`
Deze formule komt redelijk overeen met de gegevens van de tabel voor
`n = 1`
tot en met
`n = 6`
.
Bereken het grootste verschil tussen de uitkomsten uit de tabel en de bijbehorende waarden van `H_n` .
Voor grote waarden van `n` is de formule voor `H_n` echter niet geschikt om de gemiddelde handelingstijd te beschrijven. Leg uit waarom de formule voor `H_n` niet geschikt is.
Het is niet zo eenvoudig een formule voor
`H_n`
te vinden die wel voldoet. Toch kun je bijvoorbeeld de gemiddelde handelingstijd
na tien handelingen uitrekenen. Daarbij maak je gebruik van
`T_n`
, de tijd die een werknemer nodig heeft om handeling
`A`
voor de
`n`
-de keer te verrichten.
`T_n`
kan goed worden benaderd met de formule:
`T_n=6+14,7*0,68^n`
In deze formule is
`T_n`
in minuten.
Inderdaad levert deze formule
`T_1~~16`
en
`T_2~~12,8`
.
Met deze formule kun je ook andere handelingstijden uitrekenen en dus ook gemiddelde
handelingstijden berekenen.
Bereken hoe groot de gemiddelde handelingstijd is wanneer een werknemer tien keer handeling `A` heeft uitgevoerd.
Als je kijkt naar de formule
`T_n = 6 + 14,7*0,68^n`
, dan kun je constateren dat
`T_n`
steeds kleiner wordt als
`n`
groter wordt. Op de lange duur komt
`T_n`
echter niet onder een bepaalde grens.
Hoe groot is die grens? Licht je antwoord toe.
Bekijk de figuur met schetsen van de grafieken van de handelingstijd en de gemiddelde handelingstijd in één assenstelsel. Naar aanleiding van deze grafieken maakt iemand de volgende twee opmerkingen:
-
Eén van beide grafieken zal altijd boven de andere grafiek liggen.
-
De twee grafieken komen steeds dichter bij elkaar en er zal op den duur geen echt verschil meer tussen beide grafieken te zien zijn.
Door redeneren zonder rekenen kun je onderzoeken of deze opmerkingen waar zijn of niet.
Onderzoek op deze manier of de beweringen waar zijn.
(naar: examen vwo wiskunde A1,2 in 2004, tweede tijdvak)