`a = (3500)/(1 + 6*0,8^10) ~~ 2129` vissen.

`a = (3500)/(1 + 6*0,8^1000000) ~~ 3500`

Ongelijkheid: `3500/(1+6*0,8^t) le 2600` .

`3500/(1+6*0,8^t) = 2600` geeft `1 + 6*0,8^t = 3500/2600` en `t = \ ^(0,8)log(9/156) ~~ 12,78384` .

Na `12` maanden wordt het aantal van `2600` vissen in de vijver bereikt.

`a_3 = (3500)/(1 + 6*0,8^(2t))`

Voer in: `y_1 = 3500/(1+6*0,8^x)` en `y_2 = 3500/(1+6*0,8^(2x))` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 40` en `0 le y le 4000` .
De grafiek van `a_2` krijg je door de grafiek van `a` te herschalen ten opzichte van de `y` -as met factor `1/2` .

Vul je voor `x` een steeds groter wordend getal in, dan wordt:
`0,5^x` steeds kleiner,
`3*0,5^x` steeds kleiner,
`1 + 3*0,5^x` steeds kleiner,
`720/(1 + 3*0,5^x)` steeds groter.
De grafiek is stijgend.

Vul je voor `x` een heel groot getal in, dan:
nadert `0,5^x` naar `0` ,
nadert `3*0,5^x` naar `0` ,
nadert `1 + 3*0,5^x` naar `1` ,
nadert `720/(1 + 3*0,5^x)` naar `720` .
De grenswaarde is `720` .

Vul je voor `x` een steeds groter wordend getal in, dan wordt:
`0,75^x` steeds kleiner,
`3 - 0,75^x` steeds groter,
`500(3 - 0,75^x)` steeds groter.
De grafiek is stijgend.

Vul je voor `x` een heel groot getal in, dan:
nadert `0,75^x` naar `0` ,
nadert `3 - 0,75^x` naar `3` ,
nadert `500(3 - 0,75^x)` naar `1500` .
De grenswaarde is `1500` .

Vul je voor `x` een steeds groter wordend getal in, dan wordt:
`1,5^x` steeds groter,
`6*1,5^x` steeds groter,
`21+6*1,5^x` steeds groter,
`(21+6*1,5^x)/250` steeds groter.
De grafiek is stijgend.

Vul je voor `x` een heel groot getal in, dan:
wordt `1,5^x` heel groot,
wordt `6*1,5^x` heel groot,
wordt `21 + 6*1,5^x` heel groot,
wordt `(21 + 6*1,5^x)/250` heel groot.
Er is geen grenswaarde.

Vul je voor `x` een steeds groter wordend getal in, dan wordt:
`x + 1` steeds groter,
`33/(x + 1)` steeds kleiner,
`55 - 33/(x + 1)` steeds groter.
De grafiek is stijgend.

Vul je voor `x` een heel groot getal in, dan:
wordt `x + 1` heel groot,
nadert `33/(x + 1)` naar `0`
nadert `55 - 33/(x + 1)` naar `55` .
De grenswaarde is `55` .

Elke stap steeds `+60` .

Een rekenkundige rij.

`u_(n) = u_(n-1) + 60` met `u_0 = 1020`

`u_6 = u_(6-1) + 60 = u_5 + 60 = 1320 + 60 = 1380` .

`u_(n) = 1020 + 60n`

`u_(99) = 1020 + 60*99 = 1020 + 5940 = 6960`

`a_n = 9000 + 350*n` met `n = 0, 1, 2,...`

`b_(n) = 9000*1,028^n` met `n = 0, 1, 2,...`

`a_(25) = 9000 + 350*25 = 17750` euro.
`b_(25) = 9000*1,028^25 ~~ 17950,24` euro.

Bas betaalt in 2035 de meeste huur.

`340/(2x+3)+80`	`=`	`100`
`340/(2x+3)`	`=`	`20`
`340`	`=`	`20(2x+3)`
`340`	`=`	`40x+60`
`280`	`=`	`40x`
`x`	`=`	`280/40=7`

Je voert de volgende transformaties uit:

• naar links verschuiven t.o.v. de verticale as met `3` ;

• herschalen t.o.v. de verticale as met factor `1/2` ;

• herschalen t.o.v. de horizontale as met factor `340` ;

• omhoog verschuiven t.o.v. de horizontale as `80` .

Het snijpunt met de `y` -as: `f(0) = 475/(4-1,5*0)-50 = 68 3/4` geeft snijpunt: `(0; 68 3/4)` .

Het snijpunt met de `x` -as: `f(x) = 475/(4-1,5x) - 50 = 0` geeft `475 = 50(4-1,5x) = 200-75x` .

Je vindt `x275/(text(-)75)=text(-)3 2/3` en het snijpunt: `(text(-)3 2/3; 0)` .

Verticale asymptoot: `4 - 1,5x = 0` geeft `x = (text(-)4)/(text(-)1,5) = 2 2/3` .
De verticale asymptoot is: `x = 2 2/3` .

De horizontale asymptoot: `f(10^99) = 475/(4-1,5*10^99) - 50 ~~ text(-)50` .
De horizontale asymptoot is: `y = text(-)50` .

Voer in: `y_1 = 475/(4-1,5x)-50` met venster bijvoorbeeld: `text(-)15 le x le 20` en `text(-)300 le y le 300` .
In de grafiek zie je dat `f` een snijpunt heeft met de `x` -as en een snijpunt met de `y` -as. Verder lijkt `f` ook een horizontale en een verticale asymptoot te hebben.

`f(x) = 475/(4-1,5x)-50 = text(-)200` geeft `text(-)150(4-1,5x) = 475` en `x = 1075/225 = 4 7/9` .

Eerst herschalen met factor `1/3` ten opzichte van de `y` -as geeft: `y = 475/(4-1,5(3x)) - 50` .
Dan `25` omlaag verschuiven geeft: `y = 475/(4-4,5x) - 75` .

`25-61 = 36` , `97-61 = 36` , `132-97 = 35` , `168-132 = 36` en `205-168 = 37` .
`u` is een lineaire rij, want de verschillen zijn bij benadering constant. Er komen steeds ongeveer `36` inschrijvingen bij per vier uur, dat zijn `36/4 = 9` inschrijvingen per uur.

`u_n = u_(n-1) + 9` met `u_0 = 25` .

`u_1 = u_0 + 9 = 25 + 9 = 34` en `u_2 = u_1 + 9 = 34 + 9 = 43` .

`u_n = 25+9*n` met `n = 0, 1, 2, ...`

`25+9n = 500` geeft `n = 475/9 ~~ 52,8` .

Na ongeveer `52` uur wordt de inschrijving gesloten.

`u_n = 12 + 44*n` met `n = 0, 1, 2, ...`

`u_n = 2*15^n` met `n = 0, 1, 2, ...`

`u_n = 3000 - 35*(n-1)` met `n = 1, 2, 3, ...`

`u_n = 5*(0,8)^(n-1)` met `n = 1, 2, 3, ...`

`u_n = u_(n-1) + 1/3` met `u_0 = 3` .

`u_n = u_(n-1) + 77` met `u_1 = 1200` .

`u_n = u_(n-1)*(1/5)` met `u_0 = 200` .

`u_n = u_(n-1)*0,75` met `u_1 = 50` .

`K = 89/ (T - 2) = 10 ` geeft `T - 2 = 89/10 = 8,9` en `T = 10,9`  °C.

De kiemtijd moet natuurlijk groter dan `0` zijn, dus de noemer van de grafiek mag niet negatief of `0` zijn, dus `T` moet meer dan `2` zijn. Zinvolle waarden voor `T ` zijn dus `(: 2, rarr :)` .

`T = 2` heeft geen uitkomst, die mag je niet invullen, er zit een verticale asymptoot bij `T = 2` .
De grafiek nadert `K = 0` als `T` heel groot wordt.

`K` is altijd groter dan `0` en kan verder alle waarden aannemen, dus `(: 0, rarr :)` .

Een rekenkundige rij; er wordt namelijk steeds hetzelfde getal opgeteld bij de vorige term om de volgende term te krijgen.

`n`	0	1	2	3	4	5	6
`u(n)`	37	43	49	55	61	67	73

`u(8) = u(6) + 6 + 6 = 73 + 12 = 85`

`u(n)` heeft beginterm `u(0) = 37` en er wordt telkens `6` bij opgeteld.

Directe formule: `u(n) = 6n+37` met `n = 0 , 1 , 2 , 3 ,...`
Recursieformule: `u(n) = u(n-1) + 6` met `u(0) = 37` .

Als `j = 0` geldt `L = 50` , dus `p = 50` .
Als `j = 9` geldt `L = 140` , dus `140 = 50 + q sqrt(9)` .
Dit geeft `q = 30` .

Maak een tabel.

Omdat `j = m/12` moet je in de formule bij a de `j` vervangen door `m/12` .
Dit geeft `L = 50 + 30 sqrt(m/12)` .

`0,0042*t + 0,072 = 0,05*0,75*t` geeft `t ~~ 2,2` , dus na twee jaar.

Een boom van `8` jaar levert (ongeveer) `0,0107` m³ hout.
Een boom van `15` jaar levert (ongeveer) `0,0328` m³ hout.
Het verschil is `0,022` m³.

De vergelijking `0,0042*t + 0,072 = 0,156` geeft `t = 20` .

Een boom is op dat moment `15` meter lang.

Op 13 april geldt `n = 103` .
`B(103) gt 14,07`
`B(102) lt 13,9994`

of:

De vergelijking `12,3 + 4,6*sin(0,0172*(n - 80)) = 14` moet worden opgelost. Dat kan met behulp van de GR.
De oplossing is `n ~~ 102,008` .
Dus 13 april is de eerste dag van het jaar waarop de zon langer dan `14` uur schijnt.

Het maximum van `B` is, volgens de formule, `12,3 + 4,6 = 16,9` .
Het minimum van `B` is, volgens de formule, `12,3 - 4,6 = 7,7` .
Het verschil in bezonning is daarmee `16,9 - 7,7 = 9,2` en dat staat gelijk aan `9` uur en `12` minuten.

Het vijf keer verrichten van handeling `A` kost `5*11,3 = 56,5` minuten.
Het vier keer verrichten van handeling `A` kost `4*12,1 = 48,4` minuten.
De vijfde keer kost `56,5 − 48,4 = 8,1` minuten.

Voer in: `y_1 = 0,14x^2-2x+17,8`
Bekijk de tabel op de GR.
Het grootste verschil vind je bij `n = 6` , dat verschil is `0,14` .

De gemiddelde handelingstijd moet steeds kleiner worden. De waarden van `H_n` worden weer groter (dus de formule voldoet niet).

Voer in: `y_1 = 6+14,7*0,68^x` .
Bekijk de bijbehorende tabel op de GR.
Tel de waarden van `y` voor `x = 1` t/m `x = 10` bij elkaar op.
De som van deze handelingstijden is (ongeveer) `90,6` minuten.
De gemiddelde handelingstijd is (ongeveer) `9,1` minuten.

Als `n` heel groot wordt, dan wordt `0,68^n` ongeveer 0.
`T_n = 6 + 14,7*0,68^n` wordt op den duur ongeveer `6` maar blijft daar wel altijd boven.
Die grens is `6` .

`T_n` daalt voortdurend.
`H_n` , het gemiddelde van `T_1` tot en met `T_n` , is daarmee altijd groter dan de laatste waarde ( `T_n` ) van de verschillende termen `T_1` tot en met `T_n` .
De grafiek van `H_n` zal daarmee voor iedere waarde van `n` boven de grafiek van `T_n` liggen, dus bewering 1 is waar.
`T_n` komt steeds dichter in de buurt van een bepaald getal (namelijk `6` , zie antwoord e). Er worden dus op den duur alleen maar (nagenoeg) dezelfde getallen aan de serie toegevoegd waarmee `H_n` berekend wordt. Het gemiddelde `H_n` zal daarmee op den duur ook steeds meer op datzelfde getal gaan lijken, dus ook bewering 2 is waar.

In de `x` -richting verschuiven over `30` eenheden (naar rechts).
Vervolgens herschalen in de `x` -richting met factor `2` .
Tenslotte herschalen in de `y` -richting met factor `1/2` .

Neem venster bijvoorbeeld `24 le x le 36` en `0 le y le 0,4` .
De top is `(30; 0,2)` .
Er zijn geen snijpunten met de `x` -as en het snijpunt met de `y` is net iets boven `(0, 0)` .
De horizontale asymptoot is de `x` -as, een verticale asymptoot is er niet.

De oplossing van de ongelijkheid is `28,5 lt x lt 31,5` .

Deze ongelijkheid heeft in de statistiek geen betekenis omdat het daar steeds gaat om de oppervlakte van een gebied onder de grafiek van `f` .

`n = 0` : restschuld is `90000` euro.

`n = 1` : restschuld is `90000*1,025 - A` euro.

`n = 2` : restschuld is `90000*1,025^2 - A*1,025 - A` euro.

`n = 3` : restschuld is `90000*1,025^3 - A*1,025^2 - A*1,025 - A` euro.

Etcetera. Uiteindelijk moet na `10` de restschuld `0` zijn.

`A = 10283,29`