Toepassen van formules

Opgave 10

In een biologisch laboratorium is onderzoek gedaan naar de tijd die zaden nodig hebben om voor `50` % te ontkiemen. Proefondervindelijk is er een verband gebleken tussen de temperatuur `T` in °C en de kiemtijd `K` in dagen. Dit verband wordt gegeven door: `K = 89/ (T - 2)` .

a

Boven welke temperatuur is de helft van de zaden al binnen tien dagen ontkiemd?

b

Welke waarden van `T` zijn zinvol?

c

Wat is er aan de hand bij `T = 2` en bij `K = 0` ?

d

Welke waarden kan `K` aannemen?

Opgave 11

Gegeven is de rij `u_n` waarin elke term `6` meer is dan de vorige term.
De vierde term in de rij is `55` .

a

Is `u_n` een rekenkundige rij of een meetkundige rij? Licht je antwoord toe.

b

Maak een tabel bij de rij met een nummering die begint bij `0` .

c

Bepaal `u(8)` .

d

Stel de directe formule en de recursieformule op.
Begin de nummering bij `n = 0` .

Opgave 12

De grafiek van de functie `f(x) = 690/(2+4*0,8^x)` nadert een bepaalde grenswaarde.
Beredeneer aan de hand van de functie of de bijbehorende grafiek stijgend of dalend is en wat de grenswaarde is.

Opgave 13

Een onderzoeker heeft gegevens verzameld over de gemiddelde lengte van jongetjes van `0` tot `10` jaar in Nederland. In figuur 1 zie je het verband tussen de gemiddelde lengte `L` en de leeftijd `j` .

De formule die het verband tussen `j` en `L` beschrijft is `L = p + q*sqrt(j)` waarin `p` en `q` getallen zijn.

a

Bereken de waarden van `p` en `q` .

De onderzoeker is vooral geïnteresseerd in het verband tussen lengte en leeftijd in de eerste maanden na de geboorte. Zij maakt daartoe de grafiek van figuur 2.

b

Teken met behulp van de formule een grafiek van het verband tussen de gemiddelde lengte `L` en de leeftijd `m` in maanden voor het eerste levensjaar. Neem op de horizontale as `1` cm voor elke maand en op de verticale as `1` cm voor elke `5` cm lengte (gebruik een scheurlijn).

c

Uit de gegeven formule die het verband tussen `L` en `j` beschrijft, is een vergelijkbare formule af te leiden van het verband tussen `L` en `m` .
Stel een formule op die het verband tussen `L` en `m` beschrijft.

Opgave 14

Beleggingsmaatschappijen zoeken steeds naar nieuwe manieren om geld te beleggen. Eén van die manieren is het beleggen in bomen. Over het beleggen in bomen schrijft een beleggingsmaatschappij in een folder het volgende.

Uw belegging groeit vanzelf
De Labironia is een duurzame houtsoort. De houtindustrie maakt veel gebruik van de Labironia en het is te verwachten dat de vraag naar Labironia in de komende jaren zal toenemen. Van het geld dat u belegt, worden een stuk grond en jonge boompjes gekocht. Het stuk grond is verdeeld in percelen en op elk perceel worden `960` boompjes geplant. Hoe ouder de bomen, hoe langer en dikker ze worden. Voordat de bomen gekapt worden, groeien ze voortdurend volgens de formules:
`L = 0,75*t` en `D = 0,0042*t+0,072`
Hierbij is `t` de tijd in jaren na het plantmoment, `L` de lengte van een boom in meter en `D` de stamdiameter in meter.

De houtopbrengst wordt berekend met de formule:
`M = 0,16*D^2*L`
Hierin is `M` het aantal m³ benutbaar hout van de boom.

De formules voor `L` en `D` zijn benaderingen van de werkelijke groei. Direct na het planten passen de formules nog niet zo goed bij de echte groei van de bomen. Pas vanaf het moment dat volgens de formules de diameter van de Labironia-boom `5` % bedraagt van de lengte van een Labironia-boom, gelden de formules.

a

Vanaf welk moment na het plantmoment gelden de formules?

b

Een Labironia-boom van `15` jaar oud levert meer m³ benutbaar hout op dan een van `8` jaar oud. Bereken hoeveel m³ het verschil bedraagt.
Geef je antwoord in drie decimalen.

Ook is het zo dat de groei van oudere bomen van deze soort niet volgens de formules plaats zal vinden. Omdat alle bomen toch op een bepaald vastgesteld moment na het planten gekapt zullen worden, is het in deze opgave niet van belang dat de groei op zeker moment niet meer volgens de formules verloopt. De `960` bomen op één perceel worden niet alle op hetzelfde moment gekapt. Dat kappen gebeurt in verschillende rondes. De laatste ronde van dat kappen, het moment dus dat alle bomen gekapt zijn, vindt plaats op het moment dat een Labironia-boom een diameter heeft van `0,156` m.

c

Bereken de lengte van een Labironia-boom op het moment van de laatste kapronde.

(naar: examen vwo wiskunde A in 2007, eerste tijdvak)

Verwerken