Toepassen van formules > Redeneren met formulesVoorbeeld 2
|
jaar |
aantal kikkers |
| 1990 | 212 |
| 1995 | 230 |
| 2000 | 250 |
| 2005 | 272 |
| 2010 | 295 |
| 2015 | 320 |
Een bioloog houdt de populatiegroei van kikkers in een natuurgebied in de gaten. Als er te veel kikkers zijn, is er sprake van een plaag en moet er worden ingegrepen. Er wordt gesproken over een plaag wanneer het aantal kikkers meer dan `400000` bedraagt.
Bekijk de tabel met meetgegevens van 1990 t/m 2015.
-
De aantallen kikkers in de tabel vormen rij `u_n` . Zoek uit of dit (bij benadering) een rekenkundige of meetkundige rij is en stel een recursieformule op bij rij `u_n` . Neem `n=0` in 1990.
-
Stel een directe formule op bij rij `u_n` en bereken in welk jaar er een kikkerplaag zal zijn als de groei op deze manier door gaat.
-
`230-212 = 18` , `250 - 230 = 20` en `272 - 250 = 22` .
`u` is geen rekenkundige rij, want de verschillen zijn niet constant.
`230/212~~1,08` , `250/230~~1,09` en `272/250~~1,09` .
`u` is bij benadering een meetkundige rij met een groeifactor per vijf jaar van ongeveer `1,08` .
De groeifactor per jaar is ongeveer `1,08^(1/5) ~~ 1,02` .De recursieformule is dus `u_n = u_(n-1)*1,02` met `u_0 = 212` .
-
De directe formule wordt `u_n = 212*1,02^n` , want er is sprake van exponentiële groei.
De vergelijking `212*1,02^n = 400` geeft `1,02^n = 400/212` en `n = \ ^(1,02)log(400/212)~~32` .
In 2022 zal er een kikkerplaag zijn. Deze oplossing kun je ook met de grafische rekenmachine vinden.
Bekijk de tabel met het aantal inschrijvingen voor een congres. Er is ruimte voor `500` inschrijvingen.
| tijdstip | 00:00 uur | 04:00 uur | 08:00 uur | 12:00 uur | 16:00 uur | 20:00 uur |
| aantal | 25 | 61 | 97 | 132 | 168 | 205 |
De aantallen inschrijvingen in de tabel vormen rij
`u_n`
.
Zoek uit of rij
`u_n`
(bij benadering) een rekenkundige of een meetkundige rij is.
Stel een recursieformule op bij rij `u_n` . Neem `n = 0` om 00:00 uur.
Bereken met de recursieformule het aantal inschrijvingen om 02:00 uur.
Stel een directe formule op bij rij `u_n` . Is dit een lineaire formule of een exponentiële formule?
Bereken na hoeveel uur de inschrijving voor het congres gesloten wordt als de groei op deze manier doorgaat.
Schrijf de recursieformules om naar directe formules.
`u_n = u_(n-1) + 44` met `u_0 = 12` . Begin te nummeren bij `n = 0` .
`u_n = u_(n-1)*15` met `u_0 = 2` . Begin te nummeren bij `n = 0` .
`u_n = u_(n-1) - 35` met `u_1 = 3000` . Begin te nummeren bij `n = 1` .
`u_n = u_(n-1)*0,8` met `u_1 = 5` . Begin te nummeren bij `n = 1` .
Schrijf de directe formules om naar recursieformules.
`u_n = 3 + 1/3*n` met `n = 0, 1, 2, ...`
`u_n = 1200 + 77*(n-1)` met `n = 1, 2, 3, ...`
`u_n = 200*(1/5)^n` met `n = 0, 1, 2, ...`
`u_n = 50*0,75^(n-1)` met `n = 1, 2, 3, ...`