Dan neemt de afgelegde weg van de fietser toe.

Dan neemt de snelheid van de fietser toe.

Dan neemt de snelheid van de fietser af.

Dan staat de fietser stil.

`(Δa)/(Δt) = ((3500)/(1 + 6*0,8^30) - (3500)/(1 + 6*0,8^10))/(30 - 10) ~~ 67,3`

`(Δa)/(Δt) = ((3500)/(1 + 6*0,8^(20,001)) - (3500)/(1 + 6*0,8^20))/(20,001 - 20) ~~ 47,3`

`a(t) = 3500*(1 + 6*0,8^t)^(text(-)1)`

`a'(t) = 3500*text(-)1(1 + 6*0,8^t)^(text(-)2)*(6*0,8^t*ln(0,8)) = (text(-)3500*6*0,8^t*ln(0,8))/((1 + 6*0,8^t)^2)`

En dan is `a'(20) ~~ 47,3` , want ongeveer hetzelfde is als bij b.

`a'(20)` betekent enerzijds de grootte van de helling van de raaklijn aan de grafiek van `a` , maar ook dat op `t = 20` een extra maand ongeveer zoveel zalmen meer oplevert.

`TW' = text(-)1,02q^2 + 7,3q + 2 = 0` geeft `q ~~ 7,421` (de negatieve waarde vervalt).
Bij `7421` geproduceerde producten is de winst maximaal.
`text(-)0,34*7,421^3 + 3,65*7,421^2 + 2*7,421 - 25 ~~ 51,900`
De maximale winst bedraagt € 51900.

`TW'' = text(-)2,04q + 7,3 = 0` geeft `q ~~ 3,578` .
Bij `3578` geproduceerde producten is de helling maximaal.
Invullen geeft: `text(-)1,02*3,578^2 + 7,3*3,578 + 2 ~~ 15,061` .
De maximale helling is `~~ 15061` .

Bij een productie van `3578` stuks is de helling van de totale winst maximaal. Dat betekent dat bij een productie van `3578` stuks één extra geproduceerd exemplaar de meeste extra winst oplevert. Die extra winst per product bedraagt dan € 15061,00.

De grafiek van de marginale kosten loopt dan horizontaal.

Bij `0` tot `200` stuks. (Daar is de kostengrafiek recht evenredig.)

De grafiek van de marginale kosten is dan toenemend dalend.

Bij `200` tot `500` stuks. (Daar is de kostengrafiek afnemend stijgend.)

De grafiek van de marginale kosten is dan toenemend stijgend.

Vanaf `500` stuks. (Daar is de kostengrafiek toenemend stijgend.)

`AP = 30 - x` en met behulp van de stelling van Pythagoras vind je `PH = sqrt(x^2 + 100 )` .

De totale benodigde tijd voor het graven van de sleuf is gelijk aan de tijd die nodig is voor het graven van het deel `AP` langs de weg plus het deel `PH` door de tuin.
Als `t` de benodigde tijd per meter langs de weg is, is `1,5t` de benodigde tijd per meter door de tuin.

De totale benodigde tijd wordt daarmee: `T = t*AP + 1,5t*PH = t(30 - x) + 1,5t sqrt(x^2 + 100)`

`T = t(30 - x + 1,5 sqrt(x^2 + 100)) = t*A(x)`
met `A(x) = 30 - x + 1,5 sqrt(x^2 + 100)` (en `t gt 0` ).
`T` is minimaal als `A` dat is.

Omdat deze deelnemer sneller loopt dan hij zwemt, kan hij beter een stukje meer lopen en een stukje minder zwemmen om de beste tijd te scoren.

Met behulp van de stelling van Pythagoras is de afstand over het weiland `sqrt(60^2 + x^2)` en door het water `sqrt(20^2 + (100 - x)^2)` .
De tijd is dan `t(x) = (sqrt(60^2 + x^2))/(6) + (sqrt(20^2 + (100 - x)^2))/(2)` .
Ofwel: `t(x) = (sqrt(3600 + x^2))/(6) + (sqrt(x^2 - 200x + 10400))/(2)` .

`t(x) = (sqrt(3600 + x^2))/(6) + (sqrt(x^2 - 200x + 10400))/(2) = 1/6 (3600 + x^2)^(1/2) + 1/2 (x^2 - 200x + 10400)^(1/2)`
`t’(x) = 1/2*1/6 (3600 + x^2)^(text(-)1/2)*2x + 1/2*1/2 (x^2 - 200x + 10400)^(text(-)1/2)*(2x - 200)`
Dus: `t’(x) = x/(6 sqrt(3600 + x^2)) + (x - 100)/(2sqrt(x^2 - 200x + 10400))` .

`t’(x) = x/(6 sqrt(3600 + x^2)) + (x - 100)/(2sqrt(x^2 - 200x + 10400)) = 0` oplossen met de GR geeft `x ≈ 94,14` m.

Voer in: `y_1 = 3*sqrt(x)` en `y_2 = y_1(x) - y_1(x - 1)` .

Bekijk de tabel met stapgrootte `1` .

Dat is hetzelfde als dat van `y = 3sqrt(x)` .

De winst stijgt gemiddeld met `(400-200)/100=2` euro per kg.

Maak een tabel van `TK(q)` met de grafische rekenmachine en vergelijk de waarden met de gegeven tabel. Niet elke waarde zal honderd procent hetzelfde zijn.

`TW = 225q - TK = 225q - (10q^3 - 60q^2 + 130q) = text(-)10q^3 + 60q^2 + 95q`

`TW'(q) = text(-)30q^2 + 120q + 95 = 0` als `q ~~ 4,68` (andere antwoord voldoet niet).
De grafiek van `TW` laat zien, dat je hebt te maken met een maximum. Dit kun je ook nagaan met een tekenschema.

De maximale winst is `TW(4,68) ≈ 733,71` euro.

Het differentiequotiënt is `= (Δa)/(Δt) = (8-0)/(10-0) = 8/10 = 0,8` km/min.

Hellingsgetal `(Δa)/(Δt) = (29 - 23) / (60 - 44) = 6/16 = 3/8` km/min.

`(Δa)/(Δt) = (23-12)/(44-18) = 11/26 = 0,42` km/min.

Bij een sinusoïde treedt maximale helling op bij het passeren van de evenwichtsstand `d = 30` .
Los op:

Deze waarden kunnen ook met de grafische rekenmachine worden berekend.
Voer in: `y_1 = 30 + 30sin(0,0025pi x - 0,5pi)` en `y_2 = 30` met venster bijvoorbeeld: `0 le x le 800` en `0 le y le 70` .

Voer in: `y_1 = 30 + 30sin(0,0025pi x - 0,5pi)` met venster bijvoorbeeld: `0 le x le 800` en `0 le y le 100` .
De helling bij `x = 200` is `(text(d)y)/(text(d)x) ~~ 0,236` .
Daarbij hoort een hellingspercentage van `23,6` %, afgerond is dat `24` %.
Het is een zwarte piste.

`P(R) = R*(15/(R+15))^2 = (225R)/((R+15)^2)`

`P'(R) = (225(R+15)^2 - 225R*2(R+15))/((R+15)^4) = (text(-)225R + 3375)/((R+15)^4) = 0`

Dit geeft `text(-)225R + 3375 = 0` en `R = 15` .
Het maximaal ontwikkelde vermogen is `P(15) = 3,75` watt.

`C'_1 = ((190t^2+60)*16 - 16t*380t)/((190t^2+60)^2) = (960 - 3040t^2)/((190t^2+60)^2)`

(De negatieve oplossing voldoet niet.)

Dus na `0,56*60 ~~ 34` minuten is de concentratie werkzame stof maximaal.

Bij formule `C_1` geldt dat teller lineair en de noemer kwadratisch is (en voor `t gt 0` zijn beide positief). De noemer wordt sneller groot dan de teller. `C_1` nadert op den duur de waarde `0` . Dus de werkzame stof is na verloop van tijd nagenoeg uit het bloed verdwenen.
Bij formule `C_2` geldt dat beide e-machten een negatieve exponent hebben. Beide e-machten naderen op den duur de waarde `0` . Het verschil van beide e-machten, dus ook `C_2` , nadert op den duur de waarde `0` . Dus de werkzame stof is na verloop van tijd nagenoeg uit het bloed verdwenen.

`C'_2(t) = 0,13(text(-)0,65text(e)^(text(-)0,65t) + 3,9text(e)^(text(-)3,9t))`
`C'_2(0,56) = 0,13(text(-)0,65text(e)^(text(-)0,364) + 3,9text(e)^(text(-)2,184)) ~~ text(-)0,002`
`C_2(t)` is voor `t = 0,56` dalend, omdat `text(-)0,002 lt 0` is.
Het maximum van `C_2` wordt dus eerder bereikt dan het maximum van `C_1` .

Ongeveer `4,15` %.

In `17` jaar.

Het goede toenamediagram is B: in het begin geen toename, later een steeds toenemende toename.

`t = (AK)/(v_s) + (KB)/(v_z)`

`t(x) = (sqrt(x^2 + 2500))/6 + (2sqrt(x^2 - 200x + 10400))/3`

`t'(x) = x/(6 sqrt(x^2 + 2500)) + (2x - 200)/(3 sqrt(x^2 - 200x + 10400))`

De minimale tijd is ongeveer `31,6` seconden.

De kortste afstand is ongeveer `128,37` m.