Toepassen van formules > VeranderingToepassen
Om voedingswaren tegen bederf te beschermen, worden ze tijdelijk verhit. Men noemt dit steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethodes. In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is `121` °C. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld, zullen er meer bacteriën overleven. Bekijk de overlevingsgrafiek van een bepaalde bacterie.
Voor de bacterie geldt de formule:
`N(t)=10^6*2^(text(-)2,2*t)`
Hierin is
`N`
het aantal bacteriën na
`t`
minuten.
Met behulp van deze formule kun je voor elk tijdstip
`t`
berekenen hoe groot het aantal bacteriën op dat tijdstip is. Je kunt aan deze formule
(en ook aan de grafiek) zien dat er steeds minder bacteriën zijn naarmate de tijd
toeneemt. Het aantal bacteriën neemt echter niet met een vast aantal per minuut af.
Bereken op welk tijdstip dat aantal bacteriën afneemt met `10000` bacteriën per minuut. Gebruik hiervoor de afgeleide van `N(t)` .
(naar: examen wiskunde A1,2 in 2006, tweede tijdvak)
Hooikoorts is een vervelende allergische aandoening waar veel mensen last van hebben. Iemand die last heeft van hooikoorts, reageert op zogenoemde pollen in de lucht, die afkomstig zijn van bomen en grassen die in bloei staan. De allergische reactie veroorzaakt naast irritatie aan ogen, neus en keel ook hoest- en niesbuien.
PharmaCie brengt een nieuw medicijn tegen hooikoorts op de markt. Het nieuwe medicijn van PharmaCie wordt in pilvorm verkocht. Als een patiënt klachten krijgt, neemt hij een pil. De werkzame stof komt dan via de maag en de darm in de bloedbaan terecht. De hoeveelheid werkzame stof in de bloedbaan stijgt eerst en neemt daarna af, omdat het door het lichaam wordt afgebroken. De concentratie van de werkzame stof in de bloedbaan is `C` . Bekijk de figuur met een schets van de grafiek van `C` .
Een onderzoeker van PharmaCie stelt de volgende formule op die dit verloop redelijk
benadert:
`C_1(t) = (16t)/(190t^2 + 60)`
Hierin is
`C_1`
de concentratie werkzame stof in mg/cm3 en
`t`
de tijd in uur na het innemen van de pil.
Bereken met behulp van de afgeleide van `C_1` na hoeveel minuten, gerekend vanaf het moment dat de pil is ingenomen, de concentratie werkzame stof maximaal is.
Een andere onderzoeker stelt een geheel andere formule op voor het verband tussen
de tijd na het innemen van de pil en de concentratie werkzame stof:
`C_2(t) = 0,13(text(e)^(text(-)0,65t) - text(e)^(text(-)3,9t))`
Hierin is
`C_2`
de concentratie werkzame stof in mg/cm3 en
`t`
de tijd in uur na het innemen van de pil.
Aan de schets van de grafiek is te zien dat de werkzame stof na verloop van tijd nagenoeg uit het bloed verdwenen is. Met een redenering kun je aantonen dat elk van beide formules dit proces beschrijft.
Beredeneer aan de hand van de formules van `C_1` en `C_2` dat de werkzame stof volgens beide formules na verloop van tijd nagenoeg uit het bloed is verdwenen.
Hoewel de grafieken van `C_1` en `C_2` beide erg op de grafiek in de figuur lijken, verschillen de momenten waarop het maximum bereikt wordt wel van elkaar. Onderzoek met behulp van de afgeleide `C'_2` of het maximum van `C_2` eerder of later dan het maximum van `C_1` optreedt.
(naar: pilotexamen vwo wiskunde A in 2012, eerste tijdvak)