Toepassen van formules > VeranderingVoorbeeld 2
Een woonhuis heeft een nieuwe waterleiding nodig. Het huis `H` staat op een afstand van `10` meter van de rechte weg `AB` . Het aansluitingspunt `A` voor de waterleiding ligt `30` meter verderop in de straat. De sleuf voor de waterleiding kan geheel of gedeeltelijk door de tuin gegraven worden. Het graven en weer netjes dichtmaken van een sleuf in de tuin kost `1,5` keer zo veel tijd als datzelfde werk langs de wegkant. Hoe moet er worden gegraven om alles in zo kort mogelijke tijd te doen?
`P`
is het punt waarbij de waterleiding de weg verlaat en dwars door de tuin verder gaat.
Neem
`x`
meter voor de lengte van
`BP`
en
`t`
voor de benodigde tijd per meter langs de weg.
De totale benodigde tijd is:
`T = t(30 - x) + 1,5t sqrt(x^2 + 100)`
.
Met behulp van differentiëren vind je de waarde van
`x`
waarvoor
`T`
minimaal is; de waarde van
`t`
mag hierin worden weggelaten.
`T'(x) = text(-)1 + (1,5x)/(sqrt(x^2 + 100))`
De minimaal benodigde tijd vind je uit `T'(t) = 0` :
|
`text(-)1 + (1,5x)/(sqrt(x^2 + 100))` |
`=` |
`0` |
|
|
`sqrt(x^2 + 100 )` |
`=` |
`1,5x` |
|
|
`1,25x^2` |
`=` |
`100` |
|
|
`x` |
`=` |
`sqrt(80) vv x = text(-)sqrt(80)` |
Plot de grafiek. Uit de grafiek van
`T`
blijkt dat
`T`
minimaal is als
`x = sqrt(80) ≈ 8,94`
m.
De te graven sleuf moet daarom na
`21,06`
m afslaan naar de tuin en recht doorsteken naar het woonhuis.
Bekijk
Toon aan dat voor de totale tijd `T(x)` als functie van de afstand `x` en de benodigde tijd `t` langs de weg geldt: `T = t(30 - x) + 1,5t sqrt(x^2 + 100)` .
Toon aan dat bij het vinden van de kortst benodigde tijd voor het graven de waarde van `t` geen enkele rol speelt.
Tijdens een poldercross moeten de deelnemers lopend een afstand over een weiland afleggen en zwemmend een kanaal oversteken.
Een van de deelnemers loopt met een gemiddelde snelheid van `6` m/s en zwemt met een gemiddelde snelheid van `2` m/s.
Leg uit dat bij de kortste afstand niet de snelste tijd hoort.
Laat zien dat de functie `t(x)` met tijd uitgedrukt als functie van `x` is: `t(x) = (sqrt(3600 + x^2))/(6) + (sqrt(x^2 - 200x + 10400))/(2)` .
Bereken de afgeleide van `t` .
Bereken voor welke waarde van `x` de deelnemer van de poldercross de snelste tijd heeft.