Toepassen van formules > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Bij een temperatuurstijging van `15`  °C neemt `L` toe met `24,3 - 21,9 = 2,4` .
Bij een temperatuurstijging van `3`  °C neemt `L` toe met `(2,4)/15*3~~0,5` .
De literafstand is `21,9 + 0,5 = 22,4` km.

(naar: examen havo wiskunde A in 2012, tweede tijdvak)

Opgave 2
a

Een omgekeerd evenredig verband.

b

`t = 15/v` met `v` in km/h en `t` in uur.

c

100 minuten is `100/60` uur.

`t = 15/v` geeft `t*v = 15` en `v = 15/t = 15/(100/60) = 9` km/h.

d

`t = 15/v + 5/60 = 15/v + 1/12`

e

`80` minuten is `80/60` uur.

`15/v + 5/60 = 80/60` geeft `15/v = 75/60` en `75v = 900` dus `v = 12` km/h.

f

Voer in: `y_1 = 15/x + 1/12` met venster bijvoorbeeld: `0 le x le 10` en `0 le y le 15` .
De horizontale asymptoot is `y = 1/12` .
De verticale asymptoot is `x = 0` .

Opgave 3

Herleid de tweede formule zodanig dat `q` wordt uitgedrukt in `r` :

`r = 4q - 6` geeft `text(-)4q = text(-)r - 6` en `q = 0,25r + 1,5` .

Vul deze uitdrukking voor `q` in de formule `P = 5q + 8r + 35` in:

`P = 5(0,25r + 1,5) + 8r + 35 = 9,25r + 42,5` .

Hieruit volgt `a = 9,25` en `b = 42,5` .

Herleid de ontstane formule zodanig dat `r` wordt uitgedrukt in `P` :

`P = 9,25r + 42,5` geeft `text(-)9,25r = text(-)P + 42,5` en `r = 4/37 P - 170/37` .

Hieruit volgt `c = 4/37` en `d = text(-)170/37` .

Opgave 4
a

`68/31~~2,2` , `150/68~~2,2` , `330/150~~2,2` , `726/330~~2,2` , `1598/726~~2,2`
`u` is een meetkundige rij, want het aantal inschrijvingen wordt per vaste tijdseenheid van vier uur steeds met ongeveer dezelfde factor van `2,2` vermenigvuldigd.
Dat is een factor van `2,2^(1/4) ~~ 1,2` per uur.

b

`u_n = u_(n-1)*1,2` met `u_0 = 31` .

c

`u_1 = u_0*1,2`
`u_1 = 31*1,2 = 37,2`
`u_2 = u_1*1,2`
`u_2 = 37,2*1,2 ~~ 45`

d

`u_n = 31*1,2^n` met `n = 0, 1, 2, ...`
Dit is een exponentiële formule.

e

`31*1,2^n = 2000` geeft `1,2^n = 2000/31` en `n = \ ^(1,2)log(2000/31) ~~ 22,9` .

Na ongeveer `23` uur wordt de inschrijving gesloten.

Opgave 5

Als je met een bal in het water speelt en je laat hem onder water los, schiet hij omhoog. Bekijk de figuur waarop een bal gedeeltelijk onder water gehouden wordt. `W` is het volume van het deel van de bal onder water.

Bekijk de toenamediagrammen van de toename van `W` als de bal onder water geduwd wordt. `x` is de diepte onder water van de onderkant van de bal. Drie van de vier diagrammen zijn niet goed.

Leg uit welk toenamediagram past bij het onder water duwen van de bal.

diagram A

diagram B

diagram C

diagram D

(naar: examen havo wiskunde A1,2 in 2001, tweede tijdvak)

Opgave 6
a

Verschuiving van `1` ten opzichte van de `y` -as en daarna met `1/2` herschaald ten opzichte van de `x` -as.

b

`f(x) = g(2x - 1)` en `g'(x) = 3x^2 - 4`
`f'(x) = 2 * g'(2x - 1) = 2 * (3(2x - 1)^2 - 4) = 6(2x - 1)^2 - 8`

c

`f'(x) = 6(2x - 1)^2 - 8 = 0` geeft `1/2 - 1/3 sqrt3 vv x = 1/2 + 1/3 sqrt3` .

Maximum `f(text(-)0,08) ~~ 3,08` en minimum `f(1,08) ~~ text(-)3,08` .

Opgave 7Woordenschat
Woordenschat
a

De toename van de 4e tot de 8e verjaardag is `3000` .
De toename van de 8e tot de 12e verjaardag is `11000` .
De toenamen per jaar zijn respectievelijk `750` en `2750` .
Het antwoord: `2000` .

b

`(150000/17000)^(1/9)~~1,274`

c

Stel eerst de formule op voor `W_l` : `W_l = 3111t + 17000` .
Dan is `W_l (6) ~~ 35666` .
Los op `W_h = 17000 * 1,27^t = 35666` .
Dit geeft `t ~~ 3,1` .
Het verschil is `2,9` jaar ofwel `35` (maanden) (of `2` jaar en `11` maanden).

d

`W_h = 17000 * 1,27^t = 17000 * 1,27^(L-12) = 17000 * 1,27^L * 1,27^(text(-)12) ~~ 970 * 1,27^L` .
Dus `g = 1,27` en `b ~~ 970` .

(bron: pilotexamen wiskunde a vwo 2012, tweede tijdvak)

Opgave 8Algen
Algen
a

De evenwichtsstand is ongeveer `(57 + 13)/2 = 35`
De amplitude is `57 - 35 = 22`
De periode is `24` uur dus `c = (2pi)/24 ~~ 0,26`
Je krijgt zo bijvoorbeeld `F = 35 + 22 sin(0,26(t - 3))` .

b

`G = 2,0 + 1,6 sin( 1/12 pi(t -18)) = 3` oplossen geeft `t ~~ 3,421` en `t ~~ 20,579` .
De lichtintensiteit is gedurende `6,842` uur groter dan `3` eenheden.
Dat komt overeen met `6` uur en `51` (of `50` ) minuten (of `411` (of `410` ) minuten).

c

De maximale afname vindt plaats bij het steilst dalende deel van de grafiek.
Op `t = 6` (bijvoorbeeld) is sprake van zo'n steilste helling. De GR geeft daar `(text(d)y)/(text(d)x) ~~ text(-)0,42` .
De steilste daling is `0,42` per uur.

(bron: pilotexamen wiskunde a vwo 2012, tweede tijdvak, enigszins aangepast)

Opgave 9Tsunami
Tsunami
a

Bij de eerste waarde geldt: `160 =11,3 sqrt(d)` .
De ontbrekende waarde van `d` is `200` (meter) (of nauwkeuriger).
Bij de tweede waarde geldt: `80 =11,3 sqrt(d)` .
De ontbrekende waarde van `d` is `50` (meter) (of nauwkeuriger).

b

De snelheid van de tsunami is `v =11,3 sqrt(3000) ~~ 619` km/uur (of nauwkeuriger).
De tsunami legt `150` km af in `0,24` uur (of nauwkeuriger).
Het antwoord: `15` minuten (of nauwkeuriger).

c

`h = (1000/d)^(0,25) * 0,6 = 1000^(0,25) * d^(text(-)0,25) * 0,6 ~~ 3,37 * d((text(-)0,25))` .

d

Een schets van de grafiek van de afgeleide van `h` (kan via GR met behulp van `y_1 = 3,37*x^(text(-)0,25)` en `y_2 = y_1(x + 0,0001) - y_1(x)` ). Als `d` kleiner wordt, heeft de hellingsgrafiek grotere negatieve waarden.
De toename van de golfhoogte wordt groter.

(bron: pilotexamen wiskunde a vwo 2012, tweede tijdvak)

Opgave 10Fruitvliegjes
Fruitvliegjes
a

De groeifactor per week is `(1065/140)^(1/3) ~~ 1,97` .
De beginhoeveelheid is gelijk aan `140 * 1,97^(text(-)2) ~~ 36` .
De formule is `F = 36 * 1,97^t` .

b

Op `t = 0` geldt `F ~~ 6,2` (of nauwkeuriger).
De horizontale asymptoot horend bij deze formule is `F = 340` .
Dus geldt: minstens (of meer dan) `6` en hoogstens `339` fruitvliegjes.

c

`F'(t) = (340 * 54 * text(-)0,24text(e)^(text(-)0,24t))/((1 + 54text(e)^(text(-)0,24t))^2) ~~ (4406,4 text(e)^(text(-)0,24t))/((1 + 54text(e)^(text(-)0,24t))^2)` .
Met de GR vind je hiervan het maximum bij `t ~~ 16,6` .
Het antwoord: 26 (of 27) november (2011).

(bron: pilotexamen wiskunde a vwo 2012, tweede tijdvak, enigszins aangepast)

Opgave 11Websites
Websites
a

Aflezen dat de bijbehorende aantallen (unieke) bezoekers per dag respectievelijk maximaal ongeveer `180 000` en minimaal ongeveer `28 000` zijn. Het gevraagde verschil is `152 000` .

b

`25000 =1118 000 * r^(text(-)0,35)` geeft `r ~~ 52 000` (of nauwkeuriger).

c

`B'(r) = text(-)391300*r^(text(-)0,35)` is negatief, dus de grafiek van `B` daalt..

d

`log(B) = log(1118 000 * r^(text(-)0,35) ) = log(1118 000) + log(r^(text(-)0,35)) =` ` log(1118 000) - 0,35 * log(r)` .
`a = log(1118 000) ~~ 6,05` (of nauwkeuriger) en `b = text(-)0,35` .

(bron: pilotexamen wiskunde a vwo 2012, tweede tijdvak, enigszins aangepast)

verder | terug