Toepassen van formules > TotaalbeeldExamenopgaven
De woorden die je begrijpt of kunt gebruiken, vormen samen je woordenschat. Hoe groter je woordenschat is, des te beter kun je teksten lezen, teksten begrijpen en je mondeling en schriftelijk in een taal uitdrukken. In deze opgave beperken we ons tot mensen die opgroeien met de Nederlandse taal als moedertaal.
De woordenschat van een kind groeit bijna onmerkbaar door luisteren, spreken en lezen. In Nederland heeft een kind als het de leeftijd van 4 jaar bereikt een woordenschat van gemiddeld `3000` woorden. Tot de 12e verjaardag groeit dit tot gemiddeld `17 000` woorden. In onderstaande figuur is dit grafisch weergegeven.
Uit de figuur blijkt dat de gemiddelde woordenschat van de 8e tot de 12e verjaardag sneller groeit dan van de 4e tot de 8e verjaardag.
Bereken met hoeveel woorden per jaar de gemiddelde woordenschat van een kind meer groeit van de 8e tot de 12e verjaardag dan van de 4e tot de 8e verjaardag.
We gaan uit van een woordenschat van gemiddeld `17 000` op de 12e verjaardag. Na de 12e verjaardag gaat de woordenschat onder jongeren behoorlijk variëren: Bij het bereiken van de leeftijd van 21 jaar varieert deze van `45 000` tot `150 000` .
Bij sommige jongeren spreken we van een hoge woordenschat. Bij hen groeit de woordenschat
exponentieel tot gemiddeld
`150 000`
wanneer de leeftijd van 21 jaar bereikt wordt. Hiervoor is de volgende formule opgesteld:
`W_h = 17000 * 1,27^t`
Hierbij is
`t`
de tijd in jaren met
`t = 0`
op de 12e verjaardag.
In deze formule is de jaarlijkse groeifactor afgerond op twee decimalen.
Bereken deze groeifactor in drie decimalen nauwkeurig.
Bij andere jongeren spreken we van een lage woordenschat. Bij deze jongeren groeit
de woordenschat lineair tot gemiddeld
`45 000`
op hun 21e verjaardag. Hiervoor geldt de volgende formule:
`W_l = at + b`
Hierbij is
`t`
de tijd in jaren met
`t = 0`
op de 12e verjaardag.
Ga ook hierbij uit van een woordenschat van
`17 000`
op de 12e verjaardag.
Met behulp van de formule
`W_l = at + b`
kan de woordenschat die jongeren met een lage woordenschat op hun 18e verjaardag
hebben, berekend worden.
Vervolgens kan met behulp van de formule
`W_h = 17000 * 1,27^t`
worden berekend hoeveel maanden eerder jongeren met een hoge woordenschat deze zelfde
woordenschat zullen hebben.
Bereken dit aantal maanden.
In de praktijk gebruikt men graag formules waar de werkelijke leeftijd in voorkomt.
Voor jongeren met een hoge woordenschat geldt de formule
`W_h = 17000 * 1,27^t`
(met
`t = 0`
op de 12e verjaardag).
Schrijf deze in de vorm `W_h = b * g^L` , waarbij `L` de werkelijke leeftijd is. Rond `b` af op tientallen.
(bron: pilotexamen wiskunde a vwo 2012, tweede tijdvak)
Van een bepaald soort ééncellige algen (Gonyaulax polyedra) is het dag- en nachtritme onderzocht. De algen werden blootgesteld aan afwisselend `12` uur licht en `12` uur donker. Deze perioden noemen we respectievelijk dag en nacht. In de figuur zijn resultaten van dit onderzoek te zien.
Eén van de gemeten activiteiten is fotosynthese, het opslaan van energie met behulp
van (zon)licht. De intensiteit van de fotosynthese is weergegeven op de linker verticale
as.
De grafiek voor de fotosynthese
`F`
als functie van de tijd, kan benaderd worden door een formule van de vorm:
`F = a * bsin(c(t - 3))`
Hierbij is
`t`
de tijd in uren met
`t = 0`
bij het begin van een dag.
Stel deze formule op. Licht je antwoord toe.
Sommige algen lichten vanzelf op in het donker. Dit verschijnsel, gloeien genaamd,
is in de figuur ook met een grafiek weergegeven. De lichtintensiteit
`G`
werd gemeten in eenheden die langs de rechter verticale as zijn uitgezet. Men kan
de grafiek van het gloeien benaderen met de formule:
`G = 2,0 + 1,6 sin( 1/12 pi(t -18))`
Hierin is
`t`
weer de tijd in uren met
`t = 0`
bij het begin van een dag. Tijdens iedere periode van
`24`
uur is de lichtintensiteit van het gloeien gedurende een bepaalde tijd groter dan
`3`
eenheden.
Bereken met behulp van de formule van `G` hoe lang de lichtintensiteit van het gloeien in een periode van `24` uur groter is dan `3` eenheden. Geef je antwoord in minuten nauwkeurig.
De lichtintensiteit bij gloeien is na een maximum eerst toenemend dalend en daarna afnemend dalend.
Bij welke snelheid neemt de lichtintensiteit maximaal af bij gloeien? Gebruik de grafiek of de formule in de toelichting.
(bron: pilotexamen wiskunde a vwo 2012, tweede tijdvak, enigszins aangepast)
Op 26 december 2004 werd Zuidoost-Azië getroffen door een tsunami. Een tsunami is
één heel lange golf die bij de kust heel hoog wordt. De tsunami had rampzalige gevolgen
voor een aantal kustgebieden. Dit kwam door de enorme hoeveelheid water die door deze
tsunami werd meegevoerd.
In onderstaande figuur is een schematisch overzicht te zien van het verloop van een
tsunami. Boven elke genoemde waterdiepte is steeds de bijbehorende snelheid weergegeven.
In de figuur is bijvoorbeeld te zien dat een tsunami bij een diepte van `4000` meter zich met een snelheid van `710` km/uur verplaatst.
Voor de snelheid van een tsunami geldt bij benadering de volgende formule:
`v =11,3 sqrt(d)`
Hierin is `v` de snelheid in km/uur en `d` de waterdiepte in meter.
In de figuur ontbreken twee waarden voor de waterdiepte. Zij zijn aangegeven met een vraagteken.
Bereken met behulp van bovenstaande formule en de gegevens uit de figuur deze twee ontbrekende waarden.
De tsunami van december 2004 werd veroorzaakt door een aardbeving onder zee,
`150`
km uit de kust van het Indonesische eiland Sumatra.
De tsunami plantte zich voort door de Golf van Bengalen, waar de zee ongeveer
`3`
km diep is.
Bereken hoeveel minuten een tsunami nodig heeft om een afstand van `150` km af te leggen in water van `3` km diep.
In de figuur is ook te zien dat in de buurt van de kust, waar de waterdiepte niet
zo groot is, de golfhoogte van een tsunami groter wordt. Op volle zee, waar de waterdiepte
groot is, is de golfhoogte niet zo hoog.
Bij tsunami’s is het volgende verband gevonden tussen waterdieptes en golfhoogtes:
`h_2 = ((d_1)/(d_2))^(0,25) * h_1`
Hierin is
`h_1`
de golfhoogte bij waterdiepte
`d_1`
en
`h_2`
de golfhoogte bij waterdiepte
`d_2`
.
`h_1 , d_1 , h_2`
en
`d_2`
zijn in meters.
De tsunami van 26 december 2004 ontstond in een gebied met waterdiepte
`1`
km en golfhoogte
`60`
cm. Met deze gegevens en de formule
`h_2 = ((d_1)/(d_2))^(0,25) * h_1`
kunnen we voor het verdere verloop van deze tsunami het verband tussen de waterdiepte
d en de golfhoogte h beschrijven met de formule:
`h ~~ 3,37*d^(text(-)0,25)`
Toon dit aan.
Naarmate een golf dichter bij de kust komt, neemt de waterdiepte steeds verder af.
Dit is in de figuur te zien. In de figuur kun je ook zien dat de golfhoogte toeneemt
als de golf dichter bij de kust komt.
Met behulp van de afgeleide van
`h`
kun je onderzoeken of de toename van de golfhoogte groter of kleiner wordt naarmate
de golf dichter bij de kust komt.
Onderzoek met behulp van een schets van de afgeleide van `h` of deze toename groter of kleiner wordt naarmate de golf dichter bij de kust komt.
(bron: pilotexamen wiskunde a vwo 2012, tweede tijdvak)
Bij praktische opdrachten voor het vak biologie over kruisingen wordt vaak gebruik gemaakt van fruitvliegjes (Drosophila melanogaster). Deze fruitvliegjes zijn namelijk makkelijk te kweken en de ontwikkeling van ei tot fruitvliegje duurt maar negen dagen. Men kan dus in zeer korte tijd veel generaties kweken.
Het aantal fruitvliegjes neemt de eerste weken exponentieel toe. Bij een praktische opdracht tellen leerlingen uit 5vwo na `2` weken `140` fruitvliegjes en na `5` weken `1065` fruitvliegjes. Bij deze gegevens is een exponentiële formule te maken voor het aantal fruitvliegjes `F` na `t` weken.
Geef deze formule. Licht je antwoord toe.
In een kweekruimte kan het aantal fruitvliegjes niet onbeperkt toenemen. Het maximale aantal fruitvliegjes is afhankelijk van de grootte van de kweekruimte. Een ander experiment, dat werd gestart op 10 november 2011, werd in een kleinere kweekruimte uitgevoerd. Bij het vervolg van deze opgave gaan we uit van de volgende formule die het aantal fruitvliegjes bij dit experiment beschrijft:
`F = 340/(1 + 54text(e)^(text(-)0,24t))`
Hierbij is `t` de tijd in dagen na 10 november 2011 en `F` het aantal fruitvliegjes.
Welke aantallen fruitvliegjes zijn volgens bovenstaande formule in de kweekruimte mogelijk? Licht je antwoord toe.
Fruitvliegjes zijn met een beetje etherdamp gemakkelijk te verdoven waarna je ze kan tellen en met een loep bestuderen. Op de dag dat er de meeste fruitvliegjes bijkomen wil Boris ze verdoven.
Bereken met behulp van de afgeleide van `F` op welke datum er de meeste fruitvliegjes bijkomen.
(bron: pilotexamen wiskunde a vwo 2012, tweede tijdvak, enigszins aangepast)
Een manier om de populariteit van websites te meten, is door naar de
zogenoemde Alexa Ranking te kijken. Het internetbedrijf Alexa houdt bij hoe
vaak websites bezocht worden, en stelt daarvan een ranglijst op. Zo heeft de
website google.com wereldwijd ranking
`1`
met
`1,2`
miljard unieke bezoekers per
dag (begin 2011).
Voor een aantal Nederlandse websites is het verband tussen de Alexa Ranking
en het aantal unieke bezoekers per dag weergegeven in onderstaande figuur.
In de figuur is op beide assen gebruik gemaakt van een logaritmische
schaalverdeling.
In de figuur is te zien dat er verschillende websites zijn met een Alexa Ranking tussen de `1000` en de `2000` . Het verschil tussen de bijbehorende aantallen unieke bezoekers per dag van deze websites is vrij groot.
Bereken dit maximale verschil met behulp van de figuur.
De punten in de figuur liggen globaal op een rechte lijn. Deze lijn is in de figuur
getekend. Bij deze lijn hoort de formule
`B =1118 000* r^(text(-)0,35)`
.
Hierin is
`B`
het aantal unieke bezoekers per dag en
`r`
de Alexa Ranking van de
website.
Lang niet bij alle aantallen unieke bezoekers per dag is in de figuur precies af te
lezen welke Alexa Ranking de betreffende website heeft. Met de hierboven
vermelde formule is deze ranking wel te berekenen.
Bereken met behulp van de formule de Alexa Ranking van een website met `25 000` unieke bezoekers per dag.
Beredeneer aan de hand van de formule dat de grafiek van `B` daalt.
De formule
`B = 1118 000 * r^(text(-)0,35)`
kan herschreven worden in de vorm
`log(B) = a + b * log(r)`
.
Bereken de waarden van `a` en `b` .
(bron: pilotexamen wiskunde a vwo 2012, tweede tijdvak, enigszins aangepast)