Statistiek > Gegevens samenvatten
123456Gegevens samenvatten

Uitleg

Jouw klas heeft een toets gehad. Je docent doet de mededeling dat de toets goed is gemaakt met een gemiddelde van `7,3` . Ben je blij met deze informatie of hoor je liever dat het modale cijfer `7,3` is? Of dat de mediaan `7,3` is?

Met deze mededeling probeert je docent een frequentieverdeling met één getal te karakteriseren.

  • Het modale cijfer is het cijfer dat het vaakst voorkomt. Hier zegt het niet veel, want misschien komt `7,3` twee keer voor en zijn alle andere cijfers heel verschillend.

  • Ook een mediaan (middelste cijfer) van `7,3` zegt niet veel, hoewel je dan zeker weet dat de helft van de cijfers hoger dan of gelijk aan `7,3` is (en de andere helft lager dan of gelijk aan `7,3` ).

  • Het gemiddelde krijg je door alle cijfers op te tellen en te delen door het totale aantal leerlingen. Maar ben jij een gemiddelde of bovengemiddelde leerling?

Deze getallen zeggen op zichzelf weinig. Het wordt al beter als je er een mededeling over de spreiding van de cijfers bij krijgt. Het gemiddelde cijfer is een `7,3` en de cijfers hebben een spreiding van `2,2` bijvoorbeeld.

Maar wat wordt onder de spreiding verstaan? Het verschil tussen het hoogste en het laagste cijfer, de spreidingsbreedte, is bijvoorbeeld zo'n spreidingsmaat. Maar er zijn ook andere spreidingsmaten.
Een boxplot, waarin onder andere mediaan en spreiding zijn verwerkt, kan je meer duidelijkheid verschaffen.

Opgave 1

Het gemiddelde van de getallen `23` , `6` , `15` , `31` , `7` en `c` is gelijk aan `16` . Bereken `c` .

Opgave 2

In een eetcafé komen op een dag tachtig mensen eten. Ze besteden gemiddeld € 22,00. Studenten betalen € 15,00 voor het studentenmenu, dagjesmensen betalen € 25,00 voor het toeristenmenu.
Hoeveel studenten waren er die dag?

Opgave 3

Bekijk de uitleg. In de tabel zie je de cijfers van een wiskundetoets van twee parallelklassen.

cijfers klas A   cijfers klas B
6,7 6,4 4,9 3,8 4,0   4,0 6,2 4,9 3,9 5,9
5,6 5,8 6,8 8,2 4,7   7,3 4,7 6,7 7,6 9,4
3,4 8,5 4,1 6,9 7,3   8,3 5,7 7,2 8,7 7,1
6,1 7,5 6,7 6,2 3,4   7,0 6,5 7,4 5,0 4,8
7,9 4,5 8,3       7,7 6,5 4,9 8,8 6,3
a

Waarom heeft het geen zin om van beide klassen het modale cijfer te vergelijken?

b

Bepaal van beide klassen de mediaan.

c

Zegt de mediaan iets over welke klas beter heeft gescoord?

d

Bereken van beide klassen het gemiddelde cijfer.

e

Welke van beide klassen heeft het hoogste gemiddelde? Kun je nu zonder meer zeggen dat die klas ook beter heeft gescoord?

Opgave 4

Je ziet de SE-cijfers (schoolexamen) van enkele leerlingen aan het eind van havo 5. Hun eindcijfer SE is het gemiddelde van deze cijfers.

leerling SE 1 SE 2 SE 3 SE 4 SE 5 SE 6 SE 7
A `7,2` `6,3` `7,0` `2,3` `6,2` `8,1` `5,4`
B `5,9` `7,4` `5,6` `6,7` `6,1` `6,3` `4,7`
C `8,8` `9,8` `7,4` `8,8` `5,7` `7,3` `4,2`
D `7,5` `6,0` `6,0` `6,5` `6,1` `6,1` `4,7`

Elk SE-cijfer telt even zwaar mee. In de figuur is voor elke leerling elk SE-cijfer aangegeven door een bolletje op een getallenlijn (de komma in het cijfer is weggelaten).

a

De leerlingen A en B hebben hetzelfde gemiddelde. Toch is hun cijferbeeld nogal verschillend. Hoe komt dat?

b

De spreiding van de cijfers van leerling A en C is vrijwel hetzelfde. Waarin verschilt hun cijferbeeld vooral?

c

De cijfers van de leerlingen B en D hebben dezelfde spreidingsbreedte. Is de spreiding van hun cijfers ook hetzelfde?

Een andere maat voor de spreiding vind je door te kijken hoe ver elk cijfer van het gemiddelde af ligt. Bereken van elk cijfer het verschil met het gemiddelde. Je ziet die verschillen voor leerling A.

leerling SE 1 SE 2 SE 3 SE 4 SE 5 SE 6 SE 7
A `7,2` `6,3 ` `7,0` `2,3` `6,2` `8,1` `5,4`
verschil van het gemiddelde `1,1` `0,2` `0,9` `text(-)3,8` `0,1` `2,0` `text(-)0,7`
d

Bereken het gemiddelde van deze verschillen. Verbaast het antwoord je? Licht je antwoord toe.

Het gemiddelde van deze verschillen is geen goede spreidingsmaat. Dat zit hem in de mintekens. Door te kwadrateren vallen die mintekens weg. Maak voor leerling A een lijst van de kwadraten van de verschillen.

e

Bereken daarvan het gemiddelde. Heb je nu een goede spreidingsmaat?

Door het kwadrateren wordt het getal dat je bij e hebt gevonden, nogal groot. Dat los je op door de wortel uit dit getal te nemen. Je krijgt dan de standaardafwijking van de set cijfers.

f

Ga na dat de standaardafwijking voor leerling A ongeveer `1,73` is.

g

Bereken ook voor leerling B de verschillen van de cijfers met het gemiddelde. Bereken vervolgens het gemiddelde van de kwadraten van die verschillen en de standaardafwijking.

verder | terug