Statistiek > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 8Oversteken
Oversteken

Men heeft onderzoek gedaan naar de loopsnelheden van voetgangers. Bij dit onderzoek zijn de voetgangers in drie leeftijdsgroepen verdeeld, namelijk kinderen, volwassenen en ouderen. Met de gegevens uit het onderzoek heeft men een boxplot gemaakt voor de loopsnelheden van de groep ouderen.

De snelheden die bij de boxplot vermeld zijn, zijn in meters per seconde. Meer gedetailleerde informatie over de groepen zie je in de volgende figuur.

Op de verticale as staat een cumulatief percentage; dit houdt in dat afgelezen kan worden hoeveel procent van de mensen van de verschillende groepen met de aangegeven snelheid of een lagere snelheid loopt. Zo kun je bijvoorbeeld aflezen dat voor de groep ouderen bij een snelheid van `1` 1 m/s het cumulatieve percentage bijna `70` 70 is. Dus bijna 70% van de ouderen loopt met een snelheid van `1` 1 m/s of langzamer. Aan de hand van onder andere deze gegevens wordt een model gemaakt voor de tijd die de mensen nodig hebben om een weg over te steken. Neem aan dat de loopsnelheden ook voor het oversteken van een weg gelden. We bekijken het oversteken van een `20` 20 meter brede weg. Er wordt recht overgestoken, dus men loopt daarbij `20` 20 m.

a

Maak met behulp van de gegevens uit het boxplot voor het oversteektijden van ouderen. Licht je werkwijze toe.

Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar de tijd van oversteken zelf. Als je bij een weg aankomt, kun je niet altijd meteen oversteken; soms moet je een aantal seconden wachten. Deze wachttijd hangt samen met de drukte op de weg en de benodigde oversteektijd. De drukte op de weg wordt aangegeven met het aantal voertuigen dat per uur passeert (voertuigenintensiteit). Omdat ouderen in het algemeen minder snel lopen, zal voor deze groep de benodigde oversteektijd en dus ook de wachttijd groter zijn dan bijvoorbeeld voor kinderen. Er is een model gemaakt voor de samenhang tussen oversteektijd, voertuigenintensiteit en verwachte wachttijd.

In de figuur hierboven is dat voor zes verschillende wachttijden in beeld gebracht. Uit deze figuur is bijvoorbeeld af te lezen dat volgens dit model bij een oversteektijd van `9` s en een voertuigenintensiteit van `700` voertuigen per uur rekening gehouden moet worden met een wachttijd van `15` s.

b

Teken de grafiek die het verband aangeeft tussen de oversteektijd en de verwachte wachttijd bij een voertuigenintensiteit van 800. Teken de grafiek alleen voor wachttijden van `5` tot en met `30` s.

We willen een beeld krijgen van de totale tijd die een rol speelt bij het oversteken van een weg van `20` m breed en een voertuigenintensiteit van `800` voertuigen per uur. We spreken dan over de somtijd. Als we iemands verwachte wachttijd en zijn oversteektijd optellen, krijgen we zijn somtijd. We bekijken nu de groep van volwassenen. De hoogste snelheid die in deze groep is waargenomen is `2,6` m/s.

c

Wat is de langste somtijd en wat is de kortste somtijd van de `10` % snelste volwassenen? Licht je antwoord toe.

Opgave 9Vaders en zonen
Vaders en zonen

De Engelsman Karl Pearson was een van de grondleggers van de moderne statistiek. Hij heeft zich vaak bezig gehouden met statistiek over biologische onderwerpen. Ongeveer een eeuw geleden onderzocht hij, samen met zijn collega Alice Lee, of in Engeland zonen gemiddeld langer zijn dan hun vaders. Zij vergeleken de lengtes van `1064` zonen en hun vaders. De zonen studeerden allen aan een Londense universiteit.

a

Is hier sprake van een aselecte steekproef? Licht je antwoord toe.

Hier zie je een overzicht van de resultaten. Elke stip stelt één vader-zoon-paar voor. De lengte van de vader staat op de horizontale as, de lengte van de zoon op de verticale as. De lengtes zijn gegeven in inches ( `1` inch = `2,54` cm). In de figuur is een lijn getekend. Als een stip op deze lijn ligt, dan zijn de vader en de zoon precies even lang. We noemen een vader en zijn zoon ongeveer even lang als ze minder dan `2` inch in lengte verschillen.

b

Teken in de figuur op de bijlage het gebied waarin de punten liggen die horen bij vaders en zonen die ongeveer even lang zijn. Licht je werkwijze toe.

c

Kun je met behulp van het getekende gebied concluderen dat de zonen gemiddeld langer zijn dan hun vaders? Licht je antwoord toe.

Op de bijlage zie je een boxplot van de lengtes van de `1064` vaders. De vijf kenmerkende getallen van de boxplot staan erbij. Op de bijlage vind je ook een lijst met de lengtes van alle `1064` zonen. De getallen in deze lijst staan op volgorde van grootte. Na iedere `10` getallen staat een streepje. Na iedere `50` getallen staat bij het streepje hoeveel getallen er tot daar staan.

d

Teken de boxplot van de lengtes van de zonen. Schrijf de vijf kenmerkende getallen van de boxplot erbij.

Het onderzoek dat bovenstaande getallen opleverde, is ongeveer honderd jaar geleden gedaan. In die tijd hadden jonge mannen een gemiddelde lengte van `68,6` inch. Dat is niet zo groot want `68,6` inch is maar `174` cm (1 inch = `2,54` cm). Tegenwoordig is de helft van de jonge mannen langer dan `182` cm. Honderd jaar geleden was veel minder dan de helft van de jonge mannen zo lang. De lengte was toen klokvormig verdeeld met een gemiddelde van `68,6` inch en een standaardafwijking van `2,7` inch.

e

Onderzoek met de vuistregels of het aantal jonge mannen langer dan `182` cm in die tijd groter of kleiner dan `16` % van het totaal aantal jonge mannen was.

(bron: examen wiskunde A havo 2003, eerste tijdvak, aangepast)

verder | terug