Kansrekenen > Kansen optellen/aftrekken
123456Kansen optellen/aftrekken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`1/52`

b

`0`

c

`1/4`

d

`12 / 13`

e

`1/2`

f

`4/13`

g

`25/52`

Opgave 1
a

`text(P)(X = text(plaatje)) = (4 * 4) / 52= 16 / 52 = 4 / 13`

b

`text(P)(X != text(plaatje)) = (4 * 9) / 52 = 36 / 52 = 9 / 13`

c

`text(P)(X = text(harten)) = 13 / 52 = 1 / 4`

d

`text(P)(X = text(hartenplaatje)) = 4 / 52 = 1 / 13`

e

`text(P)(X = text(harten of ) X = text(heer)) = `
` text(P)(X = text(harten)) + text(P)( X = text(heer maar geen hartenheer)) = 13/52 + 3/52 = 16/52 = 4/13`

f

Die gebeurtenissen sluiten elkaar niet wederzijds uit.

g

In totaal zitten er nu niet `13` maar `12` hartenkaarten en `2` niet-harten-heren in het spel en is het totaal `50` i.p.v. `52` .
`text(P)(X = text(harten of heer)) = 12/50 + 2/50 = 14/50 = 7/25`

Opgave 2

Bekijk het kaartspel in het Voorbeeld 1. Je trekt er aselect één kaart uit.
Welke van de volgende gebeurtenissen sluiten elkaar uit?

hartenkaart en schoppenkaart

hartenkaart en vrouw

kaart met even getal en plaatje

kaart met even getal en ruitenkaart

Opgave 3
a

Deze twee gebeurtenissen sluiten elkaar uit.
`text(P)(text(harten of schoppen)) = 13/52 + 13/52= 26/52 = 1/2`

b

Deze twee gebeurtenissen sluiten elkaar niet uit: er is `1` kaart die zowel harten als vrouw is.
`text(P)(text(harten of vrouw)) = 13 / 52 + 4 / 52 - 1 / 52 = 16 / 52 = 4 / 13`

c

Deze twee gebeurtenissen sluiten elkaar uit.
`text(P)(text(even of plaatje)) = (4 * 5) / 52 + (4 * 4) / 52 = 36 / 52 = 9 / 13`

d

Deze twee gebeurtenissen sluiten elkaar niet uit: er zijn `5` kaarten die zowel even als ruit zijn.
`text(P)(text(even of ruit)) = (4 * 5) / 52 + 13 / 52 - 5 / 52 = 28 / 52 = 7 / 13`

Opgave 4

Al deze gebeurtenissen sluiten elkaar wederzijds uit, dus:
`text(P)(text(6 of meer doelpunten)) = (19+10+3+2)/306 = 1/9`

Opgave 5
a

Dit betreft de nummers 10, 20, ..., 90.
`text(P)(0) = 9 / 90 = 1 / 10`

b

Er is maar één briefje met zowel een 0 als een 2 en dat is het briefje met nummer 20. De kans is dus `1/90` .

c

Bedenk dat je `text(P)(0)` bij a berekend hebt en `text(P)(2)` in het voorbeeld.
Deze twee gebeurtenissen sluiten elkaar niet uit: er is `1` briefje dat zowel 0 als 2 bevat (briefje met 20).
`text(P)(0 text( of ) 2) = 9 / 90 + 18 / 90 - 1 / 90 = 26 / 90 = 13 / 45`

d

`text(P)(text(geen 0 en geen 2))` met complementregel:
Uit c ken je al de kans op een briefje met een 0 of met een 2 en elk ander briefje is een briefje waarop geen 0 en geen 2 staat.
`text(P)(text(geen 0 en geen 2)) = 1 - text(P)(0 text( of ) 2) = 1 - 13 / 45 = 32 / 45`

Opgave 6
a

Een rooster met `6` rijen voor de `6` waarden van de ene dobbelsteen en `6` kolommen voor de `6` waarden van de andere dobbelsteen: in totaal `6 * 6 = 36` mogelijkheden.

1 2 3 4 5 6
1 1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6
2 2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6
3 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6
4 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6
5 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6
6 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6
b

In totaal zijn er `6 * 6 = 36` mogelijke uitkomsten. In `6` ervan zit een rode met `5` ogen.

`text(P)(R = 5) = 6 / 36 = 1 / 6`

c

In totaal zijn er `6 * 6 = 36` mogelijke uitkomsten. In 6 ervan zit een blauwe met `4` ogen.
`text(P)(B = 4) = 6 / 36 = 1 / 6`

d

Er is maar één worp waarbij de rode `5` ogen heeft en de blauwe `4` ogen.
`text(P)(R = 5 text( en ) B = 4) = 1 / 36`

e

Nee, want de kans op `R=5 text( en ) B=4` is niet nul (zie d).

f

Deze gebeurtenissen sluiten elkaar niet uit: zie je antwoord bij e.
`text(P)(R = 5 text( of ) B = 4 ) = 6 / 36 + 6 / 36 - 1 / 36 = 11 / 36`

Opgave 7
a

P (3e worp is eerste 6) ` = (5 / 6)^2 * 1 / 6 = 25 / 216 ~~ 0,116`

b

P (8e worp is eerste 6) `= (5 / 6)^7 * 1 / 6 = 78125 / 1679616 ~~ 0,047`

c

Je kunt hier de complementregel gebruiken:
`text(P)(text(max. 10 keer werpen voor een 6)) = 1 - text(P)(text(10 keer geen 6)) = 1 - (5 / 6)^ 10 ~~ 0,838`

d

Anders moet je `10` afzonderlijke kansen uitrekenen en die alle tien bij elkaar optellen: veel werk.

Opgave 8

Bij een bloemenkraampje zijn alleen nog rozen en tulpen te koop: `20` tulpen en `25` rozen.

Er zijn `10` witte, `5` gele en `5` paarse tulpen en er zijn `12` witte rozen en `13` gele rozen.

De verkoper heeft alle bloemen in één emmer verzameld, hij pakt zonder te kijken een bloem.

Welk(e) van de volgende gebeurtenissen sluiten elkaar uit?

tulp en roos

tulp en geel

geel en roos

paars en roos

Opgave 9
a

Roos R, tulp T, kleuren w, g, p.

In totaal zitten er `45` bloemen in de emmer, waarvan `25` rozen:

`text(P)(text(R)) = 25/45 =5/9`

b

Er zitten alleen paarse tulpen in de emmer en dat zijn er `5` :

`text(P)(text(p)) = 5/45 = 1/9`

c

Deze gebeurtenis is complementair aan de gebeurtenis uit b.

`text(P)(text(geen p)) = 1 - text(P)(text(p)) = 1 - 1/9 = 8/9`

d

Er zitten zowel gele tulpen als gele rozen in de emmer: de gebeurtenissen "gele tulp" en "gele roos" sluiten elkaar uit.

`text(P)(text(g)) = text(P)(text(gT of gR)) = text(P)(text(gT)) + text(P)(text(gR)) = 5/45 + 13/45 = 18/45 = 2/5`

e

De gebeurtenissen "gele bloem" en "tulp" overlappen elkaar deels: ze sluiten elkaar niet uit.

`text(P)(text(g of T)) = text(P)(text(g)) + text(P)(text(T)) - text(P)(text(gT)) = 18/45 + 20/45 - 5/45 = 33/45=11/15`

Opgave
a

Rond ro, vierkant vk, rechthoek rh, driehoek dh, kleuren r, g, b.

Deze gebeurtenissen sluiten elkaar niet uit: er zijn ook gele vierkantjes.

Er zijn `2` grote en `2` kleine gele stukjes per vorm: in totaal zijn er `2 * 2 * 4 = 16` gele stukjes en er zijn `12` vierkante stukjes.

`4` stukjes zijn geel en vierkant.

`text(P)(text(g of vk)) = text(P)(text(g)) + text(P)(text(vk)) - text(P)(text(g en vk)) = 16/48 + 12/48 - 4/48 = 24/48 = 1/2`

b

Deze gebeurtenissen sluiten elkaar niet uit: er zijn rode ronde, rode rechthoekige en rode driehoekige stukjes.

Totale aantal rode stukjes is `2*2*4 = 16` .

Het totaal aantal niet-vierkante stukjes is `48 - 12 = 36` .

Het aantal rode niet-vierkante stukjes is `16 - 2 * 2 = 12` .

`text(P)(text(r of niet vk)) = text(P)(text(r)) + text(P)(text(niet vk)) - text(P)(text(r en niet vk)) = 16/48 + 36/48 - 12/48 = 40/48 = 5/6`

c

Deze gebeurtenissen sluiten elkaar niet uit: er zijn kleine ronde, kleine rechthoekige en kleine driehoekige stukjes.

Totaal aantal kleine stukjes is `6 * 4 = 24` .

Totaal aantal niet-vierkante stukjes is `48 - 12 = 36` .

Totaal aantal kleine niet-vierkante stukjes is `6 * 3 = 18` .

`text(P)(text(klein of niet vk)) = text(P)(text(klein)) + text(P)(text(niet vk)) - text(P)(text(klein en niet vk)) = 24/48 + 36/48 - 18/48 = 42/48 = 7/8`

d

Deze gebeurtenis kun je uitsplitsen tussen "blauw of driehoekje" of "geel of driehoekje" maar deze gebeurtenissen sluiten elkaar niet uit: ze delen beide de gebeurtenis "driehoekje" .

`text(P)(text(b of g of dh)) = text(P)(text(b of dh)) + text(P)(text(g of dh)) - text(P)(text(dh))`

Deze eerste twee kansen zijn gelijk aan de kans uit a en `text(P)(text(dh)) = 12/48` .

`text(P)(text(b of g of dh)) = 1/2 + 1/2 - 12/48 = 3/4`

of

`text(P)(text(b of g of dh)) = text(P)(text(b of g)) + text(P)(text(dh)) - text(P)(text(bdh, gdh))= 32/48 + 12/48 - 8/48 = 36/48 = 3/4`

Opgave 10
a

Je kunt alleen `12` ogen werpen als je met twee dobbelstenen hebt gegooid en dat kan alleen als je eerst munt hebt gegooid.

Je kunt maar op `1` manier `12` ogen gooien met twee dobbelstenen:

`text(P)(text(12 ogen met twee dobbelstenen)) = 1/36`

`text(P)(text(munt)) = 1/2`

`text(P)(text(12 ogen)) = text(P)(text(munt)) * text(P)(text(12 ogen met twee dobbelstenen)) = 1/2 * 1/36 = 1/72`

b

Je kunt alleen `7` ogen werpen als je met twee dobbelstenen hebt gegooid en dat kan alleen als je eerst munt hebt gegooid.

Je kunt op `6` manieren `7` ogen gooien met twee dobbelstenen (6 - 1, 1 - 6, 5 - 2, 2 - 5, 4 - 3, 3 - 4):

`text(P)(text(7 ogen met twee dobbelstenen)) = 6/36`

`text(P)(text(munt)) = 1/2`

`text(P)(text(7 ogen)) = text(P)(text(munt)) * text(P)(text(7 ogen met twee dobbelstenen)) = 1/2 * 6/36 = 6/72 = 1/12`

c

Zie ook a en b:

`text(P)(text(7 of 12 ogen)) = text(P)(text(munt)) * (text(P)(text(7 ogen met twee dobbelstenen)) + text(P)(text(12 ogen met twee dobbelstenen))) = 1/2 * (6/36 + 1/36) = 7/72`

d

Zie ook bij b.

`text(P)(text(meer of minder dan 7 ogen)) = text(P)(text(geen 7 ogen)) = 1 - text(P)(text(7 ogen)) = 1 - 1/12 = 11/12`

e

Je kunt zowel met één als met twee dobbelstenen `6` ogen gooien:

`text(P)(text(6 ogen)) = text(P)(text(kop en 6 ogen met 1 dobbelsteen)) + text(P)(text(munt en 6 ogen met twee dobbelstenen))`

Met één dobbelsteen 6 ogen gooien, kan slechts op `1` van de `6` manieren.

Met twee dobbelstenen 6 ogen gooien, kan op `5` van de `36` manieren (5 - 1, 1 - 5, 4 - 2, 2 - 4, 3 - 3).

`text(P)(text(6 ogen)) = text(P)(text(kop)) * text(P)(text(6 ogen met 1 dobbelsteen)) + text(P)(text(munt)) * text(P)(text(6 ogen met twee dobbelstenen) ) = 1/2 * 1/6 + 1/2 * 5/36 = 11/72`

Opgave 11
a

`text(P)(text(leerling met hoofddoek)) = text(P)(text(meisje en hoofddoek)) = text(P)(text(meisje)) * text(P)(text(meisje met hoofddoek)) = 52/100 * 1/13 = 1/25 = 4` %

`text(P)(text(leerling met petje)) = text(P)(text(jongen en petje)) = text(P)(text(jongen)) * text(P)(text(jongen met petje)) = 48/100 * 1/16 = 3/100 = 3` %

b

`text(P)(text(leerling is jongen zonder pet)) = text(P)(text(jongen en geen pet)) = text(P)(text(jongen)) * text(P)(text(jongen zonder pet)) = 48/100 * 15/16 = 45/100 = 0,45`

c

De gebeurtenissen "leerling is meisje" en "leerling draagt iets op het hoofd" zijn complementair aan de gebeurtenis "jongen zonder petje" .

`text(P)(text(jongen zonder petje))=0,45`

`text(P)(text(leerling is meisje of draagt iets op het hoofd)) = 1 - 0,45 = 0,55`

of

`text(P)(text(meisje of hoofdbedekking)) = text(P)(text(meisje)) + text(P)(text(iets op hoofd)) - text(P)(text(meisje met iets op hoofd)) = 0,52 + 0,07 - 0,04 = 0,55`

d

`text(P)(text(jongen of niets op hoofd)) = text(P)(text(jongen)) + text(P)(text(niets op hoofd)) - text(P)(text(jongen die niets op hoofd heeft))= 0,48 + 0,93 - 0,45 = 0,96`

of

De gebeurtenissen "leerling is jongen" en "leerling draagt niets op het hoofd" zijn afhankelijk van elkaar (ze sluiten elkaar niet uit): de jongens zonder petjes horen bij beide gebeurtenissen.

`text(P)(text(leerling is jongen of draagt niets op het hoofd)) =`

`text(P)(text(jongen)) + text(P)(text(leerling draagt niets op het hoofd)) - text(P)(text(jongen zonder petje)) =`

`text(P)(text(jongen)) + text(P)(text(meisje zonder hoofddoek)) + text(P)(text(jongen zonder petje)) - text(P)(text(jongen zonder petje)) =`

`text(P)(text(jongen)) + text(P)(text(meisje zonder hoofddoek)) = 48/100 + (52/100 * 12/13) = 96/100 = 0,96`

e

De leerling is een meisje met een hoofddoek.

Opgave 12
a

Er zijn dertien leerlingen die maar één van deze drie vakken hebben, dus: `5 +(8 -x)+(4 -x)=13`
Dit levert op: `x=2` .

b

`16/26=8/13`

c

`2/26=1/13`

d

`3/26`

e

`6/26=3/13`

f

`24/26=12/13`

Opgave 13
a

Vier leden zijn geen econoom en ook geen jurist.

b

`2/11`

c

`7/11`

d

`49/121`

Opgave 14
a

De gegeven getallen kun je alvast in het diagram zetten, zoals in dit tussenresultaat (bedenk dat door de twee "misschiens" het aantal van 4 eentje lager wordt en het aantal van 3 ook).

Daarna kun je verder rekenen: alle vakjes bij elkaar zijn samen `25` en je weet dat er in totaal `15` opZ's zijn, `11` opL's en `10` opR's. Daarmee bereken je dat het vraagteken uit `4` personen bestaat.

b

Complementregel: iedereen behalve opLichters.

`text(P)(text(keurig bestuurlid)) = text(P)(text(geen opL)) = (25 - 11)/25 = 14/25 = 0,56`

c

`text(P)(text(opR)) = 10/25 = 0,40`

`text(P)(text(opL)) = 11/25 = 0,44`

`text(P)(text(opR en opL)) = (2 + 1)/25 = 0,12`

(zie Venndiagram: de twee door opL en opR gedeelde vakjes)

d

opR of OpL betekent in het venndiagram: alle vakjes behalve het vakje met alleen opZ.

Complementregels dus: alles min alleen opZ en dat is gelijk aan `25 - 7 = 18` van de `25` personen.

`text(P)(text(opR of opL)) = 18/25 = 0,72`

e

Bedenk: "de kans dat hij oprichter of oplichter is" , heb je al uitgerekend in vraag d. en die was `0,72` . De "kans dat iemand opzichter is" , is gelijk aan `15/25 = 0,60` . Samen is dat `1,32` ( `132` %).

Als je bovenstaande kansen optelt, dan tel je eigenlijk in het Venndiagram de `3` vakjes die door opzichters gedeeld wordt met oprichters en oplichters dubbel mee. In die `3` vakjes staan `3 + 1 + 4 = 8` personen: dat zijn de personen die opzichter zijn en ook nog eens oplichter of oprichter. De kans op zo'n persoon is `8/25 = 0,32` .

Opgave 15
a

`5/8`

b

`7/16`

c

`13/16`

Opgave 16
a

`2/3`

b

`5/9`

c

`8/9`

verder | terug