Kansrekenen > Kansen vermenigvuldigen
123456Kansen vermenigvuldigen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`12/2652 =1/221`

b

`29/884`

Opgave 1
a

Er wordt niet teruggelegd, dus bij de tweede trekking zijn er minder kaarten in het spel.

b

`text(P)(text(eerste harten en tweede schoppen)) = 13/52 * 13/51 = 13/204`

c

Een harten- en een schoppenkaart is eerst een harten- en dan een schoppenkaart of eerst een schoppen- en dan een hartenkaart.
`text(P)(text(een harten en een schoppen)) = 2 * 13/204 = 13/102`

d

De kans op een gebeurtenis als deze kans afhankelijk is van een vorige gebeurtenis.

e

`13/51`

f

Een vrouw en een heer kan op twee manieren, namelijk eerst een vrouw en dan een heer of eerst een heer en dan een vrouw.
`text(P)(text(een vrouw en een heer)) = 4/52 * 4/51 + 4/52 * 4/51 = 8/663`

Opgave 2
a

Gebruik de productregel voor onafhankelijke kansen:

`text(P)(B text( en ) B) = 4/10 * 4/10 = 4/25`

b

`text(P)(R text( en ) R) = 6/10 * 6/10 = 9/25`

c

Hier wordt steeds teruggelegd.

Opgave 3
a

`text(P)(B text( en ) B) = text(P)(B_1) * text(P)(B_2 | B_1) = 4/10 * 3/9 = 2/15`

b

`text(P)(R text( en ) R) = text(P)(R_1) * text(P)(R_2 | R_1) = 6/10 * 5/9 = 1/3`

c

Nadat de eerste blauwe gekozen is, zijn er nog `3` blauwe over van de in totaal dan `9` balletjes.

`text(P)(B_2 | B_1) = 3/9 = 1/3`

d

Het zijn allebei knikkers van de tweede trekking: de ene gebeurtenis kan daarom nooit vooraf gaan aan de andere.

Opgave 4
a

Dit is een situatie zonder terugleggen. De bijbehorende kansboom bestaat maar liefst uit `32` lagen en dus krijgen we veel vermenigvuldigingen volgens de productregel: `text(P)(32 text( A's)) = 200/800 * 199/799 * 198/798 * ... * 169/769`

Dit kan een stuk slimmer door gebruik te maken van combinatoriek:
Het aantal gunstige mogelijkheden is `((200),(32))` en het totaal aantal mogelijkheden is `((800),(32))` .

`text(P)(32 text( A's)) = (((200),(32))) / (((800),(32))) ~~7,4 * 10^(text(-)21) ~~ 0` .

b

Ook dit kan worden uitgerekend met combinaties, alleen nu kies je uit drie verschillende groepen:

`text(P)(10 text( A's en ) 15 text( C's en ) 7 text( D's)) = ( ((200),(10)) * ((200),(15)) * ((200),(7)) ) /( ((800),(32)) )~~ 4,7 * 10^(text(-)7)`

Opgave 5

`text(P)(B_2 )=text(P)(R_1 text( en )B_2 )+text(P)(B_1 text( en )B_2 )=`
`text(P)(B_2 |R_1 )+text(P)(B_1 )*text(P)(B_2 |B_1 )=6/10*4/9+4/10*3/9=2/5`
Of bedenk dat er voor de tweede knikker twee mogelijkheden zijn: rood of blauw. De kans op blauw is dus: `text(P)(B_2)=1-text(P)(R_2)=1-3/5=2/5`

Opgave 6
a

Gevraagd: `text(P)(B_1 | B_2)` volgens het voorbeeld is deze kans gelijk aan: `(text(P)(B_1 text( en ) B_2)) / (text(P)(B_2))`
`text(P)(B_1 text( en ) B_2) = 4 / 10 * 3 / 9 = 12 / 90`
`text(P)(B_2) = 4 / 10 * 3 / 9 + 6 / 10 * 4 / 9 = 36 / 90`
Dus: `text(P)(B_1 | B_2) = (12 /90) / (36 / 90) = 12 / 36 = 1 / 3`

b

`text(P)(B_1 | R_2) = (text(P)(B_1 text( en ) R_2)) / (text(P)(R_2))`
`text(P)(B_1 text( en ) R_2) = 4 / 10 * 6 / 9 = 24 / 90`
`text(P)(R_2) = 4 / 10 * 6 / 9 + 6 / 10 * 5 / 9 = 54 / 90`
Dus: `text(P)(B_1 | R_2) = 24 / 54 = 4 / 9`

Opgave 7
a

`text(P)(3 text( rode)) = 7 / 20 * 6 / 19 * 5 / 18 = 7 / 228`

b

`text(P)(B_3 | R_1 text( en ) R_2) = 8 / 18 = 4 / 9`

c

Je kunt dit nu op twee manieren doen. De tot nu toe gebruikte manier is:
`text(P)(B_3 text( en ) R_1 text( en ) R_2) = text(P)(R_1R_2B_3) = 7 / 20 * 6 / 19 * 8 / 18 = 14 / 285`

Of: gebruik de productregel voor afhankelijke kansen en de al berekende kans in b:
`text(P)(B_3 text( en ) R_1 text( en ) R_2) = text(P)(R_1R_2) * text(P)(B_3 | R_1R_2) = 7 / 20 * 6 / 19 * 4 / 9 = 14 / 285`

d

In de bijbehorende kansboom kun je drie routes vinden waarbij twee knikkers rood zijn en de ander wit. Elk van deze routes heeft bijbehorende kans van `7 / 20 * 6 / 19 * 5 / 18 = 210 / 6840` .

Er zijn ook drie routes met twee rode knikkers en een blauwe. Ieder van deze routes heeft bijbehorende kans van `7 / 20 * 6 / 19 * 8 / 18 = 336 / 6840` .

`text(P)(text(twee rode)) = 3 * 210 / 6840 + 3 * 336 / 6840 = 91 / 380`

e

Er zijn `6` routes in de bijbehorende kansboom die hieraan voldoen:
`text(P)(text(drie verschillende kleuren)) = `

`text(P)(RWB) + text(P)(RBW) + text(P)(WRB) + text(P)(WBR) + text(P)(BRW) + text(P)(BWR) = `

`6 * text(P)(RWB) = 6 * 7 / 20 * 5 / 19 * 8 / 18 = 1680 / 6840 = 14 / 57`

Opgave 8
a

Dit is een voorwaardelijke kans: `text(P)(text(heeft tuberculose) | text(geeft reactie op test))` . In totaal geven `197` mensen een reactie op de test; daarvan hebben er `98` ook echt tuberculose.
`text(P)(text(heeft tuberculose) | text(geeft reactie op test)) = 98 / 197 ~~ 0,4975`

b

Dit is een voorwaardelijke kans: `text(P)(text(heeft tuberculose) | text(geeft geen reactie op test))` . In totaal geven `9803` mensen geen reactie op de test; daarvan hebben er `2` toch tuberculose.
`text(P)(text(heeft tuberculose) | text(geeft geen reactie op test)) = 2 / 9803 ~~ 0,0002`

Opgave 9
a

Hier hoort een kansboom bij van `3` lagen diep; situatie zonder terugleggen.

`text(P)(text(vierde van de zeven sokken hoort bij allereerste)) = 8/8 * 6/7 * 5/6 * 1/5 = 1/7`

b

Een kansboom van twee lagen volstaat nu.

`text(P)(text(tweede of derde sok hoort bij allereerste)) = 8/8 * 1/7 + 8/8 * 6/7 * 1/6 = 1/7 + 1/7 = 2/7`

Opgave 10
a

Maak eventueel een kansboom met twee lagen: bovenste laag met de bloedgroepen, onderste laag per bloedgroep de twee Rhesus-factoren.

`text(P)(text(A en Rh-positief)) = 40/100 * 85/100 = 0,34 = 34` %

b

Maak eventueel een kansboom met twee lagen: bovenste laag met de bloedgroepen, onderste laag per bloedgroep de twee Rhesus-factoren.

`text(P)(text(O en Rh-negatief)) = 45/100 * 15/100 = 0,0675 = 6,75` %

c

`text(P)(text(Rh-negatief is en niet bloedgroep O)) = 15/100 * (100 - 45)/100 = 0,0825 = 8,25` %

d

Je kunt de acht kansen allemaal uitrekenen en dan de kleinste van de acht kiezen ( `0,75` %).

Je kunt ook redeneren:

Bloedgroep AB is de meest zeldzame bloedgroep en Rh-negatief is de meest zeldzame Rhesusfactor, dus hun combinatie zal de zeldzaamste combinatie zijn.

Opgave 11
a

`text(P)(text(vrouw))=55/116~~0,474~~47,4` %

b

`text(P)(text(vrouw en een tatoeage))= 9/116~~0,078~~7,8` %

c

`text(P)(text(piercing))=18/116=9/58`

d

`text(P)(V text( man en ) V text( piercing))=6/116=3/58`

e

`text(P)(V text( piercing)|V text( man))=(text(P)(V text( man en ) V text( piercing)))/(text(P)(V text( man))) = ((6) / 116) / (61/116) = 6/61`

Opgave 12
a

Gebruik eventueel een kansboom met vier lagen voor elke worp; de situatie is met terugleggen.

`text(P)(text(minstens 1 zes)) = 1 - text(P)(text(geen zes)) = 1 - (5/6)^4 ~~ 0,518 = 51,8` %

Dat is groter dan `50` %.

b

`text(P)(text(minstens 1 keer dubbel 6)) = 1 - text(P)(text(geen dubbel))=1-(5/6 * 5/6 + 2 * 1/6 * 5/6)^24 = 1 - (35/36)^24 ~~ 0,491 = 49,1` % en dit is kleiner dan `50` %.

c

Gebruik de grafische rekenmachine om te berekenen wanneer `1 - (35/36)^n ge 0,5` .

Of probeer een aantal waarden uit.

Je vindt dat deze kans bij `n = 25` voor het eerste groter is dan `50` %.

Opgave 13
a

`text(P)(1234 ) = 1/10 * 2/9 * 3/8 * 4/7 = 24/5040 = 1/210`

b

`text(P)( 4321 ) = 4/10 * 3/9 * 2/8 * 1/7 = 24/5040 = 1/210`

c

`text(P)( 3344 ) = 3/10 * 2/9 * 4/8 * 3/7 = 72/5040 = 3/210 = 1/70`

d

Je hebt dan telkens van alle vier de cijfers één kaartje nodig.

Rekenkundig gezien: je krijgt als teller altijd een vermenigvuldiging van de getallen `1` , `2` , `3` en `4` en als noemer krijg je altijd de vermenigvuldiging `10*9*8*7` .

e

Schrijf de algemene productregel om en dan krijg je:

`text(P)( T = 34 | E = 12) = (text(P)( T = 34 text( en ) E = 12)) / (text(P)( E = 12))`

`text(P)( T = 34 text( en ) E = 12) = text(P)( 1234) = 1/210`

`text(P)(E = 12) = 1/10 * 2/9 = 2/90`

`text(P)( T = 34 | E = 12) = (1/210) / (2/90) = 3/14`

Op eenzelfde manier bereken je:

`text(P)( T = 12 | E = 34) = (text(P)( T = 12 text( en ) E = 34)) / (text(P)( E = 34)) = (1/210) / (3/9 * 4/10) = 1/28`

f

`1/10`

g

Zie ook a en b en bedenk dat er maar één gemerkte kaart is. Die kans is ook `1/10` .

h

`text(P)(text(derde gemerkt)) = 9/10 * 8/9 * 1/8 * 7/7 = 1/10`

i

`text(P)(text(getal begint met een 3)) = 3/10`

`text(P)(text(getal eindigt met een 3)) = 3/10`

`text(P)(text(begint en eindigt met een 3)) = 1/15 `

Opgave 14

Maak een kruistabel. Ga uit van `1000` personen en maak met de gegevens een kruistabel:

medicijn A

medicijn B

totaal

genezen

`855`

`75`

`930`

niet genezen

`45`

`25`

`70`

totaal

`900`

`100`

`1000`

Het gaat om de `930` genezen personen. `75` hebben medicijn B gekregen.

`text(P)(text(medicijn B)) = 75/930 ~~ 0,081`

of

Maak een kansboom: bovenste laag geeft de kansen op medicijn A en B, onderste laag geeft de kansen op wel of geen genezing.

Je kunt als volgt redeneren en rekenen:

Ga uit van `1000` zieken.

`90/100 * 95/100 * 1000 = 855` zieken genezen door medicijn A.

`10/100 * 0,75 * 1000 = 75` zieken genezen door medicijn B.

`text(P)(text(genezen persoon heeft medicijn B gekregen)) = 75 / (855 + 75) = 5/62 ~~ 0,081`

of

Je kunt ook rekenen met de algemene productregel voor onafhankelijke kansen:

`text(P)(text(genezen persoon heeft medicijn B gekregen))` is een voorwaardelijke kans: `text(P)(text(B) | text(genezen))`

In woorden: de kans op medicijn B als je weet dat de persoon al genezen is.

Productregel:

`text(P)(text(B en genezen)) = text(P)(text(genezen)) * text(P)(text(B) | text(genezen))` dus `text(P)(text(B) | text(genezen)) = (text(P)(text(B en genezen)))/(text(P)(text(genezen)))`

Reken zelf na dat je hiermee exact dezelfde kans berekent.

Opgave 15Drie deuren probleem
Drie deuren probleem
a

De kans dat de winnaar meteen de juiste deur kiest, is `1/3` . Hij wisselt niet, dus die kans blijft `1/3` .

b

Er zijn nu drie mogelijkheden:

  • Je kiest de deur waar de prijs achter zit. De spelleider opent een lege deur. Jij wisselt en verliest.

  • Je kiest de eerste deur waar geen prijs in zit. De spelleider opent de andere lege deur. Jij wisselt en wint.

  • Je kiest de tweede deur waar geen prijs in zit. De spelleider opent de andere lege deur. Jij wisselt en wint.

Drie mogelijke situaties met een winkans van `2/3` .

Opgave 16Nationale Wetenschapsquiz
Nationale Wetenschapsquiz

Gebruikt pep is P en twee mogelijkheden + en -.

De gevraagde kans is een voorwaardelijke kans: `text(P)(text(P | P+))` .

Maak een kruistabel met de gegevens:

pep-test gebruiker geen gebruiker
positief 9 9 18
negatief 1 81 82
10 90 100

De kans dat een postief geteste deelnemer ook gebruiker is, is dus `9/18=50` %.

Je kunt de kans ook berekenen uit P(P en P+) en P(P+). Het handigste is dan om een kansboom van twee lagen te maken. De bovenste laag bestaat uit twee takken: "gebruiker" en "geen gebruiker" . De onderste laag splitst ook uit in tweeën: "test positief" en "test negatief" .

`text(P)(text(P en P+)) = text(P)(text(P)) * text(P)(text(+)) = (10/100) * (90/100) = 9/100`

`text(P)(text(P+)) = text(P)(text(P en P+)) + text(P)(text(niet P)) * text(P)(text(P+)) = 9/100 + (90/100 * 10/100) = 18/100`

De gevraagde kans `text(P)(text(P | P+)) = (text(P)( text(P en P+))) / (text(P)(text(P+))) = (9/100)/(18/100) = 9/18 = 1/2 = 50` %

Opgave 17
a

`1/6`

b

`1/3` en `2/5`

c

`3/4`

Opgave 18
a

`0,1992`

b

`0,2161`

c

`0,5607`

Opgave 19
a

`0,006`

b

`0,392`

c

`0,014`

d

`4/7`

verder | terug