Kansrekenen > Binomiale kansenUitleg
Kleurenblindheid komt voor bij `8` % van de westerse mannen. Of iemand kleurenblind is kun je niet aan zijn uiterlijk zien, dus iedere westerse man die je tegenkomt (en verder niet kent) heeft voor jou een kans van `0,08` om kleurenblind te zijn. Vraag je een willekeurige westerse man of hij kleurenblind is of niet, dan doe je een kansexperiment met precies twee uitkomsten: `0` als hij niet kleurenblind is en `1` als dit wel het geval is. Zo'n kansexperiment heet een Bernoulli-experiment naar de Zwitserse wiskundige Jakob Bernoulli (1654—1705). De bijbehorende kansverdeling is:
| `x` | `0` | `1` |
| `text(P)(X=x)` | `0,92` | `0,08` |
Vraag je `10` westerse mannen naar kleurenblindheid dan voer je het Bernoulli-experiment `10` keer uit: je herhaalt `10` keer hetzelfde experiment. De bijbehorende stochast is `K` en de kans dat er `2` kleurenblinden bij zijn is: `text(P)(K = 2) = 0,08^2*0,92^8*((10),( 2 ))` waarin `((10),( 2 ))` het aantal mogelijke combinaties van `2` uit `10` voorstelt. Dit getal is het aantal mogelijke takken in de bijbehorende kansboom van `10` lagen met `2` kleurenblinden en `8` niet-kleurenblinden.
Een complete kansverdeling van `K` ziet er zo uit:
-
`text(P)(K = 0) = 0,08^0*0,92^10*((10),(0))`
-
`text(P)(K = 1) = 0,08^1*0,92^9*((10),(1))`
-
`text(P)(K = 2) = 0,08^2*0,92^8*((10),(2))`
-
...
-
`text(P)(K = 10) = 0,08^10*0,92^0*((10),(10))`
Bij deze kansverdeling is de verwachting eenvoudig te berekenen:
`text(E)(K) = 10 *0,08 = 0,8`
.
Hierin is de E (van
"expectation"
) het symbool voor de verwachtingswaarde.
Bekijk de toevalsvariabele
`X`
in de
Laat zien, dat `text(E)(X) = 0,08` .
Leg uit waarom `K` de som van `10` onafhankelijke Bernoulli-experimenten is.
Bereken `text(P)(K = 4)` .
Bereken de verwachtingswaarde van `K` met behulp van de kansverdeling en laat zien dat er inderdaad `0,8` uitkomt. Beschrijf de betekenis van dit getal.
Je werpt met twee dobbelstenen en bepaalt na de worp de som van het aantal bovenliggende ogen. De toevalsvariabele `X` geeft aan of het aantal ogen zeven is of niet:
-
`X = 0` betekent dat je geen zeven ogen gooit;
-
`X = 1` betekent dat je zeven ogen gooit.
Stel een kansverdeling van `X` op.
Bereken de verwachtingswaarde van `X` .
Je gooit nu twaalf keer met twee dobbelstenen. Je let op het aantal keer `A` dat je zeven ogen gooit.
Hoe groot is de kans dat je drie keer zeven ogen gooit, dus hoe groot is `text(P)(A=3 )` ?
Bereken de verwachtingswaarde van `A` .