Kansmodellen

Opgave 10

Bereken de volgende kansen. Rond af op vier decimalen.

a

`text(P)(L < 174 | μ(L) = 178 text( en ) σ(L) = 5)`

b

`text(P)(3 < X < 5 | μ(X) = 4,3 text( en ) σ(X) = 1,2)`

c

`text(P)(Y > 1200 | μ(Y) = 1180 text( en ) σ(Y) = 113)`

Opgave 11

Een vulmachine vult kilopakken rijst. Het ingestelde vulgewicht van de machine komt overeen met het gemiddelde gewicht van de pakken rijst. De gewichten zijn normaal verdeeld. Het gemiddelde gewicht van een pak rijst is `1010` gram en de standaardafwijking is `9` gram.

a

Hoeveel procent van de pakken weegt minder dan `1000` gram?

b

Hoeveel procent van de pakken weegt meer dan `1000` gram?

c

Hoe groot is de kans op een pak dat meer dan `5` gram te zwaar is?

d

Hoeveel procent van de pakken is meer dan `20` gram te licht?

e

Hoe groot is de kans op een pak dat tussen de `1005` en de `1015` gram weegt?

Opgave 12

Een bakker bakt kerststollen van `1000` gram.

a

Hoeveel bedraagt de standaardafwijking als het gemiddelde gewicht `1000` gram is en `5` % van de stollen minder weegt dan `900` gram?

b

Als de standaardafwijking van de stollen `60` gram is, hoeveel procent van de stollen weegt dan minder dan `900` gram?

c

Hoe groot is het gemiddelde gewicht van de stollen bij een standaardafwijking van `65` gram als `5` % van de stollen minder weegt dan `900` gram?

d

Hoe groot is het gewicht van de `3` % zwaarste kerststollen als het gemiddelde gewicht `1000` gram is en de standaardafwijking `62,5` gram?

Opgave 13

Bij de serieproductie van een bepaald type auto wordt het plaatsen van het stuur door mensen gedaan. Deze handeling kost gemiddeld `55` seconden. De handelingstijd `T` blijkt ongeveer normaal te zijn verdeeld rond dit gemiddelde met een standaardafwijking van `4` seconden.

Er worden in een bepaalde maand `1200` van deze auto’s geproduceerd.

a

Schat het aantal auto’s waarbij het langer dan `60` seconden heeft geduurd om het stuur te plaatsen.

b

Hoeveel tijd hebben de `3` % snelste handelingstijden gekost?

De fabrikant van deze auto’s onderzoekt of een machine de mens kan vervangen. De gemiddelde afhandelingstijd is dan ook `55` seconden, maar de standaardafwijking wordt veel kleiner. Nu duurt maar `1` % van alle afhandelingstijden meer dan `60` seconden.

c

Welke standaardafwijking geldt voor deze machine?

Opgave 14

Twee hardlopers op de `400` meter trainen samen. Op basis van vele wedstrijden gaat de trainer uit van een normaal verdeeld snelheidsverschil tussen deze twee van gemiddeld `0` m/s met een standaardafwijking van `0,205` m/s.
De laatste zes wedstrijden die deze twee hardlopers samen hebben gelopen, geven de volgende snelheden.

loper A	9,2	9,2	8,8	8,9	8,8	8,5
loper B	9,2	9,0	9,0	8,9	8,7	9,1

Zoals je uit de gegevens kunt afleiden, bleef het snelheidsverschil bij de eerste vijf wedstrijden binnen een marge van één standaardafwijking rondom het gemiddelde snelheidsverschil, uitgaande van de eerder beschreven normale verdeling van het snelheidsverschil.

a

Bereken de procentuele kans dat bij vijf wedstrijden achter elkaar het snelheidsverschil beperkt blijft tot maximaal één standaardafwijking rondom het gemiddelde snelheidsverschil. Kan dit een reden voor de trainer zijn om te twijfelen aan de juistheid van het normaal verdeelde model voor het snelheidsverschil?

De laatste van de zes wedstrijden springt eruit met een groot verschil in snelheid.

b

Bereken de procentuele kans op minimaal een dergelijk snelheidsverschil, uitgaande van de eerder beschreven normale verdeling van het snelheidsverschil. Kan dit een reden voor de trainer zijn om te twijfelen aan de juistheid van het normaal verdeelde model voor het snelheidsverschil?

c

Vergelijk het gemiddelde snelheidsverschil en de bijbehorende standaardafwijking van de gekozen normale verdeling en die van de gegevens van de zes wedstrijden met elkaar en leg uit wat dit voor de hardlopers kan betekenen.

Gebruik daarbij in ieder geval:

een schets met beide normaalkrommen boven één horizontale as van snelheidsverschillen;
het verschil in de kans op een groter snelheidsverschil dan `0,6` m/s.

De trainer past vanwege de uitkomsten van de laatste zes wedstrijden de standaardafwijking van de gekozen normale verdeling aan: zij wil daarmee haar (voorspellings)model beter laten aansluiten op de werkelijkheid. Ze blijft ervan uitgaan dat de beide hardlopers gemiddeld even snel zijn, maar de standaardafwijking kiest zij zo, dat de kans op een snelheidsverschil dat groter is dan `0,6` m/s maximaal vier procent is.

d

Bereken de nieuwe standaardafwijking in drie decimalen.

Opgave 15

De accu van een tablet van het merk Sampel gaat gemiddeld `2,60` jaar mee met een standaardafwijking van `0,32` jaar. De tableteigenaars zijn hiermee niet tevreden en daarom wil Sampel de productiestraat van deze accu’s aanpassen.
Er zijn aanpassingen mogelijk die de gemiddelde levensduur zullen verhogen: per extra levensweek zijn de kosten hiervan € 0,01 per tablet.
Andere aanpassingen zorgen voor een kleinere standaardafwijking, maar deze aanpassingen kosten per extra levensweek € 0,02 per tablet.

Sampel wil de productiestraat zodanig aanpassen dat de kans dat de accu meer dan twee jaar meegaat minstens `97,5` % wordt. Echter: de totale extra kosten per tablet door de aanpassingen mogen niet hoger zijn dan `1,4` eurocent.

Onderzoek of er mogelijkheden zijn voor Sampel om de productiestraat zodanig aan te passen dat aan beide voorwaarden wordt voldaan.

Verwerken