`text(P)(T+B=5) = text(P)(T=1)*text(P)(B=4) + text(P)(T=2)*text(P)(B=3) + text(P)(T=3)*text(P)(B=2) = 3/12`

`T` en `B` zijn voor alle gevallen onafhankelijk. Anders geldt de productregel niet op de bij a beschreven manier (denk aan de dubbeltellingen).

`bar(T) = μ(T) = 0 * 1/3 + 1 * 1/3 + 2 * 1/3 = 1`

`bar(B) = μ(B) = 0 * 1/4 + 1 * 1/4 + 2 * 1/4 + 3 * 1/4 = 1,5`

`bar(T+B) = μ(T + B) = 0 * 1/12 + 1 * 2/12 + 2 * 3/12 + 3 * 3/12 + 4 * 2/12 + 5 * 1/12 = 2,5`

`bar(T) + bar(B) = μ(T) + μ(B) = 1 + 1,5 = 2,5` , dus `bar(T + B) = bar(T) + bar(B)` .

`text(Var)(T) = (0 - 1)^2 * 1/3 + (1 - 1)^2 * 1/3 + (2 - 1)^2 * 1/3 = 2/3`

`sigma(T) = sqrt(text(Var)(T)) = sqrt(2/3)≈ 0,816`

`text(Var)(B) = (0 - 1,5) ^2 * 1/4 + (1 - 1,5)^2 * 1/4 + (2 - 1,5)^2 * 1/4 + (3 - 1,5)^2 * 1/4 = 5/4`

`sigma(B) = sqrt(text(Var)(B)) = sqrt(5/4) ≈ 1,118`

`sqrt(sigma(T)^ 2 + sigma(B)^ 2) = sqrt(text(Var)(T) + text(Var)(B)) = sqrt (2/3 + 5/4) = sqrt(23/12) ≈ 1,384`

`sigma(T + B)` : hiervoor komt de grafische rekenmachine van pas (maar je kunt dit natuurlijk ook zelf berekenen). Voer de zes waarden als lijst in en zo ook de bijbehorende kansen (zij hebben de rol van relatieve frequentie). Laat de statistische berekeningen uitvoeren. Dit geeft: `sigma(T + B) ≈ 1,384` en dat is inderdaad gelijk aan de wortel van de som van de kwadraten van de twee afzonderlijke standaardafwijkingen.

Je kunt er veilig van uitgaan dat deze gewichten, `Ka` en `Ko` , onafhankelijk van elkaar zijn.

Daarom geldt:

`μ(Ka + Ko) = μ (Ka) + μ (Ko) = 25 + 55 = 80` gram.

`σ (Ka + Ko) = sqrt((σ (Ka))^2 + ( σ (Ka))^2) = sqrt(1,1^2 + 1,8^2) ~~ 2,11` gram.

Bedenk dat de som van normaal verdeelde statistische variabelen zelf ook een normaal verdeelde statistische variabele is.

Gebruik de net berekende waarden en de grafische rekenmachine:

`P(Ka + Ko < 77,5 | μ = 80 text( en ) σ = 2,11) ~~ 0,1180`

Gebruik je GR.

De standaardafwijking van een zak aardappelen van `1500`  gram is gelijk aan `80`  gram.

En `σ(C) = sqrt(54^2 + 30^2) ~~ 61,8` gram.

Voer in je GR in: `y_1 = text(binompdf)(1500,80,x)` en `y_1 = text(binompdf)(1500,61.8,x)` met venster bijvoorbeeld `1350 le x le 1750` bij `0 le y le 0,2` .

De statistische variabele `D` is het somgewicht van drie zakken aardappels van elk 500 gram:

`μ(D) = 500 + 500 + 500 = 1500` gram.

`σ(D) = sqrt(30^2 + 30^2 + 30^2) = sqrt(2700)` gram.

Gebruik de grafische rekenmachine:

`text(P)(D > 1450 | μ(D) = 1500 text( en ) σ(D) = sqrt(2700) ) ~~ 0,8321` , dit is ongeveer `83` %.

Bij de betreffende supermarkt kun je dus het beste drie zakken aardappelen van `500`  gram kopen: dat geeft de meeste kans op minstens `1450`  gram.

Een bout en een moer passen volgens het voorbeeld als geldt:

`text(P)(0 ≤ V ≤ 0,25 | μ = 0,15 text( en ) σ = 0,14) ~~ 0,6205`

Dit betekent dat de kans op een bout en een moer die niet passen gelijk is aan:

`1 - 0,6205 = 0,3795`

Verder geldt dat de bout niet te klein mag zijn: bouten passen nog in een moer als de boutdiameter maximaal `0,25` mm kleiner is dan die van de moer.

Anders gezegd: `B` is `M - 0,25` of groter.

Dus: `V le M - (M - 0,25) = 0,25` .

In het voorbeeld staat dat `V` gelijk is aan `M - B` , het verschil tussen de diameter van een moer en de diameter van een bout.

Als geldt dat `V < 0` dan is `M - B < 0` en dat betekent dat `B` groter is dan `M` .

De normaal verdeelde statistische variabele `B` betreft de diameter van een bout; de normaal verdeelde statistische variabele `M` betreft de diameter van een moer.
De statistische variabele `V = M - B` is ook normaal verdeeld.
`mu(V) = mu(M) - mu(B) = 0,05` mm en `sigma(V) = sqrt((sigma(M))^2 + (sigma(B))^2) ~~ 0,058`

De bout past als het verschil tussen bout en moer kleiner is dan `0,02` mm.
Maar als het verschil kleiner is dan `0` , dan is de bout te dik.
`1 - text(P)(0 le V lt 0,02 | mu(V) = 0,05 text( en ) sigma(V) = 0,058) ~~ 0,8918` . Dit is ongeveer `89` %.

`text(P)(V < 0 | mu(V) = 0,05 text( en) sigma(V) = 0,058) ~~ 0,1943` en dit is ongeveer `19` %.

`μ(P+K) = 22` minuten en `σ (P+K) = sqrt(0,8^2 + 1^2)`

Gevraagde kans:

`text(P)(20 < P+K < 21 | μ = 22 text( en ) σ = sqrt(0,8^2 + 1^2) ) ~~ 0,1583`

`μ(K-P) = 10,5 - 11,5 = text(-)1` minuut en `σ(K-P) = sqrt(0,8^2 + 1^2)` .

`text(P)(K-P > 1 | μ = text(-)1 text( en ) σ = sqrt(0,8^2 + 1^2) ) = 0,059`

`L = Y + K` .

`μ(L) = μ (Y+K) = μ (Y) + μ (K) = 10 + 30 = 40` meter.

`σ(L) = sqrt(( σ(Y)) ^2 + ( σ(K)) ^2) = sqrt(9^2 + 13^2) ~~ 15,8` cm.

`text(P)(L < 39 | μ = 40 text( en ) σ = 0,158) ~~ 0,0000000001`

`text(P)(X+Y = 6) = text(P)(X=1) * text(P)(Y=5) = 0,15 * 0,25 = 0,0375`

`text(P)(X+Y = 7) = text(P)(X=2) * text(P)(Y=5) = 0,85 * 0,25 = 0,2125`

Enzovoorts.

Bekijk de kansverdeling van `X+Y` :

GR: `bar(X)=1,85` , `bar(Y) = 10,5` en `bar(X+Y) = 12,35` .
Je ziet: `1,85 + 10,5 =12,35` .

GR: `σ(X) ≈ 0,357` , `σ(Y) ≈ 3,841` en `σ(X+Y) ≈ 3,857` .
Je ziet: `3,857 ≈ sqrt(0,357^2+3,841^2)` .

Kansverdeling van `Y - X` :

want bijvoorbeeld `P(Y-X = 8) = P(Y=10)*P(X=2) = 0,4*0,85 = 0,3400` .

GR: `bar(Y-X) = 8,65` en `bar(Y) - bar(X) = 8,65` .
Dus: `bar(Y-X) = bar(Y) - bar(X)` .

De GR geeft op basis van de kansverdeling van `Y - X` dat `σ(Y-X) ~~ 3,857` .

Hiervoor heb je al berekend dat `σ(Y) ~~ 3,841` en dat `σ(X) ≈ 0,357` .

`sqrt(3,841^2 + 0,357^2) ~~ 3,857`

Er geldt dat `σ(Y-X) = sqrt((σ(Y))^2 + (σ(X))^2)` .

`X` stelt het gewicht voor van de arabier en van het Friese paard samen.

`μ(X) = 450 + 600 = 1050` kg.

`σ(X) = sqrt(50^2 + 85^2)` kg.

`text(P)(X > 1200 | μ(X) = 1050 text( en ) σ(X) = sqrt(50^2 + 85^2) ) ~~ 0,0641` .

`Z` is het gewichtsverschil tussen de twee paarden.

`μ(Z) = 600 - 450 = 150` kg.

`σ(Z) = sqrt(50^2 + 85^2)` kg.

Bedenk dat in uitzonderlijke gevallen de arabier ook zwaarder kan zijn dan het Friese paard: het gewichtsverschil is dan negatief.

`text(P)(text(-)75 < Z < 75 | μ(Z) = 150 text( en ) σ(Z) = sqrt(50^2 + 85^2) ) ~~ 0,2122` .

De normale kansvariabele `F` is het gewicht van een Fries paard met `μ = 600` kg en `σ = 85` kg.

`text(P)(F ge 450) = P(F ge 450 | μ = 600 text( en ) σ = 85) ~~ 0,9612 `

De gevraagde kans is daarmee gelijk aan `1 - 0,9612^8 ~~ 0,2714` .

Bereken in Excel eerst:

• gemiddelde jongenslengte `~~ 180,4` cm met `σ ~~ 7,88` cm.

• gemiddelde meisjeslengte `~~ 168,8` cm met `σ ~~ 7,08` cm.

Controleer vervolgens de vuistregels van de normale verdeling:

Heel grof bekeken zou je de beide kansverdelingen bij benadering normaal verdeeld kunnen noemen.

`text(P)(J > 168,8 | μ = 180,4 text( en ) σ = 7,88) ~~ 0,9295` en dat is ongeveer `93` % van de jongens.

Als geldt `V = J - M` dan is `μ(V) = 180,4 - 168,8 = 11,6` cm en `σ(V) = sqrt(7,88^2 + 7,08^2)` .

`text(P)(V > 0 | μ = 11,6 text( en ) σ = sqrt(7,88^2 + 7,08^2) ) ~~ 0,8632 ` .

In ongeveer `24` % van de gevallen.

`1003,2` mL.