Als het goed is krijg je een rechte lijn die bij `70,125` op `50` % zit.

Ja, zie figuur.

Bij `50` % kun je `mu` aflezen en bij `84` % kun je `μ + σ` aflezen (vuistregels).

Zie tabel.

Zie figuur.

De verschillen zijn niet erg groot. Je moet de bovengrenzen van de klassen gebruiken omdat het om "kleiner of gelijk" kansen gaat.

Ja.

`z=(62000 - 61500) / 208 = 2,4`

De kist heeft dus een gewicht dat meer dan twee standaardafwijkingen groter is dan het gemiddelde gewicht van een grotere kist en voldoet dus niet aan de `95` %-norm.

`z = (28850 - 28900)/106 = text(-)0,47`

Deze `z` -waarde is negatief: het gewicht is ongeveer `0,5` standaardafwijking lager dan het gemiddelde gewicht.

`z = (text(gewicht) - 28900)/106 = text(-)1,5` geeft `text(gewicht) - 28900 = text(-)1,5 * 106` .

Dus `text(gewicht) = text(-)1,5 * 106 + 28900 = 28741` gram `~~ 28,74` kg.

`z = (61500 - 61500)/208 = 0/208 = 0` , de normaalkromme verschuift immers met de top naar de verticale as.
Dit geldt ook voor de gewichten van de kleine kisten.
Je kunt ze eerlijk vergelijken omdat in dat geval alleen de spreiding van de gewichten (de standaardafwijking) nog een rol speelt.

Een gewicht van één standaardafwijking meer dan het gemiddelde:

`28900 + 106 = 29006` gram geeft `z = (29006 - 28900)/106 = 106/106= 1` .

Gezien de betekenis van de `z` -waarde zullen kisten, die precies één standaardafwijking minder wegen dan het gemiddelde, een `z` -waarde van `text(-)1` hebben.

Gebruik de statistiekfuncties van de grafische rekenmachine of bereken het gemiddelde en de standaardafwijking handmatig. Denk daarbij aan de klassenmiddens.

Gebruik: `μ = bar M = 13,20` hoort bij `50` % en `μ + σ = 13,20 + 0,10 = 13,30` hoort bij `84` %.

De cumulatieve percentages zijn: `0,1` ; `2,2` ; `15,8` ; `49,9` ; `83,9` ; `97,5` ; `99,5` en `99,6` .

Teken de punten bij deze percentages: plaats de punten recht boven de rechterklassengrenzen (eerste punt `(12,9; 0,1)` , dan `(13,0; 2,2)` enzovoort).

Dat klopt, behalve aan het eind (wat wel vaker het geval zal zijn).

Gebruik de gegevens van machine 1 en werk met Excel.
In de kop van de tabel betekent c.r.f. cumulatieve relatieve frequenties.

Laat Excel dit voor je doen.

Dit geeft: `μ ≈ 1003,1` en `σ ≈ 3,0` gram.

Gebruik de bovengrens van elke klasse!

Dit klopt, er kan redelijk goed een rechte lijn door de punten worden getekend.

Dit hangt van de getekende rechte lijn af. Hier is sprake van een schatting en dit kan per persoon wat afwijken.

• Lees `μ` af bij `50` %.

• Lees `μ+σ` af bij `84` % en bereken daarmee `σ` .

De waarden zouden ongeveer gelijk moeten zijn aan die bij b.

Aflezen bij `90` % geeft ongeveer (afhankelijk van de rechte lijn) `1007`  gram.
De zwaarste pakken wegen `1007`  gram of meer.

`text(P)(A le 54 | mu = 62 text( en ) sigma = 13,7)~~ 0,280` , dus ongeveer `28` %.

`(54 - 62)/(13,7) ~~ text(-)0,584` .

In het eerste jaar was de betreffende `z` -waarde `text(-)0,584` .
In het volgende jaar is de `z = (54 - 63)/(14,5) ~~ text(-)0,621` .
De `z` -waarde van het eerste jaar ligt dichter bij het gestandaardiseerde gemiddelde dan die van het volgende jaar. Dat wil zeggen dat er in het eerste jaar voor wiskunde A vwo meer onvoldoendes zijn behaald zijn dan in het volgende jaar.

Anders gezegd: in eerste jaar is er voor wiskunde A1 vwo slechter gescoord dan in het volgende jaar als je naar het aantal onvoldoendes kijkt.

Lees af: bij `18` cm hoort `30` %, dus `30` % van de sneeuwdagen valt er `18` cm of minder sneeuw.

Dit betekent dat op de rest van de sneeuwdagen meer dan `18` cm sneeuw valt. Dat komt overeen met `70` %.

`S` , de hoeveelheid sneeuw die valt op een dag dat het sneeuwt, is normaal verdeeld omdat de grafiek van de cumulatieve relatieve frequentieverdeling van `S` op normaal-waarschijnlijkheidspapier een rechte lijn is.

Lees de gemiddelde hoeveelheid sneeuw af bij `50` %: ongeveer `23` cm sneeuw per dag dat het sneeuwt.

Lees bijvoorbeeld de hoeveelheid sneeuw af bij `16` %: dat is `14` cm. Het verschil tussen `14` en `23` cm is de standaardafwijking: `9` cm sneeuw.

Bijvoorbeeld bij schoenmaat `5,5` krijg je `z= (5,5 - 11)/(1,5) ~~ text(-)3,7` .
De andere schoenmaten gaan net zo.

Over schoenmaat `11` kun je direct concluderen dat de `z` -waarde gelijk is aan `0` . Deze schoenmaat is de gemiddelde waarde: de `z` -waarde is de hoeveelheid standaardafwijkingen die een schoenmaat afwijkt van de gemiddelde schoenmaat.

De `z` -waarden van de schoenmaten `6,5` en `12,5` (en eventueel ook van `13,25` ) bepaal je zonder de formule voor de `z` -waarde omdat de standaardafwijking van de schoenmaten `1,5` is. Je berekent dat `9,5` precies één standaardafwijking kleiner is dan de gemiddelde schoenmaat `11` . De `z` -waarde van schoenmaat `9,5` is gelijk aan `text(-)1` . Bepaal zo ook de `z` -waarden van schoenmaten `6,5` , `12,5` en eventueel `13,25` .

Mannen met een schoenmaat die groter is dan `13,5` hebben een schoenmaat die bijna twee keer of meer keer de standaardafwijking (de `z` -waarde) groter is dan de gemiddelde schoenmaat.

Grofweg `95` % van de mannen heeft een schoenmaat tussen `μ-2σ` en `μ+2 σ` .

Dat betekent dat grofweg `5` % van de mannen een schoenmaat heeft die ofwel kleiner is dan `μ-2 σ ` ( `2,5` %) ofwel groter dan `μ+2σ` ( `2,5` %).

In dit geval heeft meer dan `2,5` % van de Amerikaanse mannen een grotere schoenmaat dan maat `13,5` .

`z = 3` betekent een schoenmaat van `11 + 3*1,5 = 15,5` .

Voer alle lijsten op de grafische rekenmachine in en laat voor beide groepen de statistische berekeningen uitvoeren.

Mannen: `bar x ≈ 128,5` mm Hg en `σ ≈ 12,6` mm Hg.

Vrouwen: `bar x ≈ 131,7` mm Hg en `σ ≈ 13,7` mm Hg.

De genoemde bloeddrukwaarden zijn de klassenmiddens.

De klassenbreedte is `5` en de eerste klasse is `102,5\- < 107,5` .

Maak eerst een tabel met cumulatieve relatieve frequenties (in procenten).

Zet de frequenties uit tegen de rechter klassengrenzen.

De punten liggen niet op een rechte lijn. Dit betekent dat de bloeddruk van deze mannen niet normaal is verdeeld.

Iedereen zal net een andere rechte lijn tekenen en zo uitkomen op een eigen gemiddelde en standaardafwijking. Alle lijnen zullen behoorlijk afwijken van de berekende waarden.

Bekijk de frequentieverdeling in de frequentietabel: de hoogste frequenties zitten bovenin en niet in het midden. Dit betekent dat deze frequentie links scheef is verdeeld en niet normaal is (klokvormig) verdeeld.

Je kunt ook normaal-waarschijnlijkheidspapier gebruiken om dit aan te tonen.

Volgens de vuistregels ligt een normaalverdeling grofweg tussen `μ - 3σ` en `μ + 3σ` .

• De normaalkromme van `X` loopt ongeveer van `6` tot `18` .

• De normaalkromme `Y` loopt ongeveer van `9` tot `27` .

Hier zie je hoe beide normaalkrommen als functies in je GR zijn ingevoerd met venster `5 le x le 30` bij `0 le y le 0,2` .

Zie figuur, het venster is nu `text(-)3 le x le 3` bij `0 le y le 0,4` .

De `z` -waarde: `P(Z>z\|\μ = 0 text( en ) σ = 1) = 0,05` of `P(Z < z\|\μ = 0 text( en ) σ = 1) = 0,95` geeft `z ~~ 1,64` .

De grenswaarde van `X` : `1,64 = (x - 12)/2` geeft `x ~~ 15,3` .

De grenswaarde van `Y` : `1,64 = (y - 18)/3` geeft `y ~~ 22,9` .

De `z` -waarde bij `X lt 9` is is `text(-)1,5` .

Bij `Y` hoort dezelfde `z` -waarde, dus: `y = μ - 1,5σ = 18 - 1,5*3 = 13,5` . Dit betekent dat de kans dat `Y` een waarde heeft die kleiner is dan `13,5` ongeveer `6,7` % is.

In het algemeen geldt: `z = (x-μ)/σ` .

In dit geval geldt ook nog eens de wortel-n-wet: `z = (x-μ)/(σ/(sqrt(n)))` .

Verder geldt:

`μ = 45000` en `σ = 5500` en `n = 73` en `x = 38000` .

`z = (38000 - 45000)/(5500/(sqrt(73))) ~~ text(-)10,9` .

Een `z` -waarde van bijna `text(-)11` betekent dat het steekproefresultaat bijna `11` standaardafwijkingen afwijkt van het beweerde gemiddelde. Dat is heel erg onwaarschijnlijk.

Bedenk dat ongeveer `100` % van de waarnemingen zit tussen `text(-)3` maal de standaardafwijking en `3` maal de standaardafwijking.

`z = (x-μ)/σ = (59550 - 45000)/5500 ~~ 2,65`

Omdat deze `z` -waarde tussen `text(-)3` en `3` ligt, is de kans dat er al inwoners zijn die € 59550,00 of meer verdienen groter dan nul.

`μ ≈ 43,6` en `σ ≈ 2,7` cm.

Maak eerst de cumulatieve relatieve frequentieverdeling in procenten. Zet deze waarden uit tegen de rechter klassengrenzen.

Doen.

Ja, de kniehoogte van deze `5001` vrouwen is redelijk goed normaal verdeeld.

Tussen `41,3` en `45,9` cm. Dus `a ≈ 2,3` cm.

`46,4` cm of meer.

Oude machine ongeveer `4,5` % van de pakken.
Nieuwe machine ongeveer `0,6` % van de pakken.
Dus de nieuwe machine is geeft minder pakken met te weinig melk.

Oude machine: `z~~ text(-)1,67` .

Nieuwe machine: `z = text(-)3` .

De oude machine geeft vaker te weinig melk.