Kansmodellen

Opgave 1

Bloeddruk wordt gemeten in mm Hg (spreek uit: millimeter kwik).
Bij een groep van duizend mannen is de bloeddruk normaal verdeeld met een gemiddelde van `128,5` mm Hg met een standaardafwijking van `12,5` mm Hg.

a

Hoeveel van de mannen hebben naar schatting een bloeddruk van minder dan `141` mm Hg?

c

Hoeveel mannen hebben naar schatting een bloeddruk die meer dan twee keer de standaardafwijking afwijkt van de gemiddelde bloeddruk?

d

Maak op basis van de normaalkromme een schatting van het percentage mannen dat een bloeddruk heeft van meer dan `150` mm Hg en vergelijk dat met het daadwerkelijke percentage mannen met een dergelijke bloeddruk.

Opgave 2

In een fabriek worden sokken machinaal vervaardigd. De gemiddelde lengte van een sok blijkt `47` centimeter te zijn. De lengte van de sokken is normaal verdeeld met een standaardafwijking van `0,2` centimeter. De sokken worden in paren verkocht. In de fabriek worden paren gevormd door willekeurig twee sokken bij elkaar te stoppen.

a

Als één sok een lengte heeft van `46,5` centimeter, hoe groot is dan de kans dat het lengteverschil met de andere sok van het paar meer dan `0,7` centimeter is?

b

Wat is de kans dat als de eerste sok een lengte heeft van `49,5` centimeter, het lengteverschil met de andere sok van het paar meer dan `0,7` centimeter is? Waarom is deze kans niet gelijk aan de kans uit a?

c

Wat kun je zeggen over de lengte van de `5` % kortste sokken? Rond af op één decimaal.

De fabrikant vindt dat te veel sokken een lengte hebben die je bij c hebt berekend. Hij past daarom de standaardafwijking aan zodat nog maar `4` % van de sokken korter is dan die lengte, in plaats van `5` %. Het gemiddelde blijft gelijk.

d

Bereken de nieuwe standaardafwijking. Rond af op twee decimalen.

e

Wat gebeurt er met de normaalkromme van de soklengte als de standaardafwijking van `0,2` wijzigt in de standaardafwijking die je bij d hebt berekend?

Opgave 3

In een fabriek verpakt een machine in kleine zakjes poedermelk voor in de koffie. Elk van die zakjes hoort `3` gram melkpoeder te bevatten. De fabrikant heeft zijn machine zo afgesteld dat het vulgewicht van deze zakjes normaal is verdeeld met een gemiddelde van `3,1` gram en een standaardafwijking van `0,06` gram.

a

Hoeveel procent van de zakjes melkpoeder die deze machine produceert, is te licht?

De fabrikant voldoet hiermee niet aan de richtlijnen van de Europese Unie. Die schrijven voor dat niet meer dan `1` % van de zakjes poedermelk minder dan `3` gram mag bevatten.

b

De fabrikant besluit om iets meer melkpoeder in de zakjes te doen. Op welk gemiddelde vulgewicht moet hij de machine instellen om aan de richtlijn van de EU te voldoen? Ga ervan uit dat de standaardafwijking van de verdeling van de vulgewichten hetzelfde blijft.

c

Je koopt een doosje met daarin twintig zakjes van het melkpoeder dat nog het oorspronkelijke gemiddelde van `3,1` gram heeft.

Hoeveel gram melkpoeder verwacht je gemiddeld per zakje in het doosje met twintig zakjes? En welke standaardafwijking hoort daarbij?

d

Hoe groot is de kans dat je in totaal minder dan `20 * 3 = 60` gram melkpoeder hebt gekocht?

Licht je antwoord toe met behulp van je kennis over de normaalkromme.

Opgave 4

In een bedrijf wordt onder andere margarine geproduceerd. Het eindproduct wordt via een vulmachine in kuipjes gegoten, die volgens het opschrift een inhoud hebben van `500` gram. De gewichten van de gevulde kuipjes blijken normaal verdeeld te zijn. De standaardafwijking is ongeacht het vulgewicht waarop de vulmachine ingesteld staat steeds `4` gram. Het gemiddelde gewicht van zo’n kuipje is gelijk aan het vulgewicht waarop de machine is ingesteld.

De kuipjes worden verpakt in kartonnen dozen waarvan het gewicht normaal verdeeld is. Het gemiddelde gewicht van zo'n doos is `400` gram met een standaardafwijking van `15` gram. In één doos gaan twintig kuipjes.

a

Het gewicht van de volle dozen is ook weer normaal verdeeld. Bereken het gemiddelde en de standaardafwijking van het gewicht van een volle doos margarinekuipjes.

De keuringsdienst van waren gaat regelmatig na of de fabriek wel voldoende margarine in de kuipjes doet. Daartoe neemt de dienst één volgepakte doos uit de dagproductie en weegt die. Als het totale gewicht meer dan `50` gram naar beneden afwijkt van het gemiddelde, krijgt de fabrikant een boete.

b

Hoe groot is de kans op een boete als de fabrikant het vulgewicht van `500` gram aanhoudt?

Natuurlijk zou de keuringsdienst van waren ook de twintig kuipjes zonder de bijbehorende doos kunnen wegen. Ook nu wordt een boete gegeven als `50` gram minder dan het gemiddelde gemeten zou worden.

c

Waarom is deze controle eerlijker dan de eerste?

Na verloop van tijd veranderen de eisen die de keuringsdienst van waren stelt. In het vervolg zullen honderd kuipjes op hun gewicht worden gecontroleerd. Daarbij mag er maximaal één zijn die minder dan `495` gram weegt.

d

Hoe groot is nu de kans op een boete, aangenomen dat de fabrikant de machine nog steeds op `500` gram heeft ingesteld?

Opgave 5

Een schroefas van een schip verbindt de motor met de schroef. Deze as wordt op een of meer plaatsen ondersteund door een lager. Dit lager is een bronzen bus waarvan de binnendiameter zo goed mogelijk passend wordt gemaakt om de diameter van de as en waarin zich goed geoliede kogels bevinden die het draaien van de as mogelijk maken.
Er wordt gestreefd naar een binnendiameter van `15,0` millimeter van de bussen (en dus de lagers) en naar een diameter van `14,9` millimeter voor de assen. Na fabricage zijn zowel de binnendiameter van de lagers als de diameters van de assen normaal verdeeld:

Voor de assen geldt: `µ = 14,9` mm en `σ = 0,1` mm.
Voor de lagers geldt: `µ = 15,0` mm en `σ = 0,1` mm.

Assen met een diameter groter dan `15,1` millimeter en lagers met een binnendiameter kleiner dan `14,8` millimeter worden na een test afgekeurd.

a

Hoeveel procent van de assen en hoeveel procent van de lagers zal worden afgekeurd na een test?

b

Bereken de diameter waarvoor geldt: de kans op een as met die diameter is gelijk aan de kans op een lager met die binnendiameter.

Uit een grote hoeveelheid, die evenveel assen als lagers bevat, neem je willekeurig een as en een lager.

c

Hoe groot is de kans dat de lager niet om de as past?

Opgave 6

De scores van een IQ-test in Nederland zijn bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van `100` .
`15,8` % van de mensen heeft een IQ van `85` of lager.

a

Bereken de standaardafwijking bij deze IQ-test.

Als je een IQ hebt dat hoger is dan `130` , dan word je hoogbegaafd genoemd.

b

Bereken de `z` -waarde die hoort bij een IQ van `130` .

Rond af op drie decimalen.

c

In een ander land zijn de IQ-scores ook normaal verdeeld en de `z` -waarde die hoort bij hoogbegaafdheidsgrens is daar gelijk aan `1,923` .

Welke uitspraak kun je nu doen over het verschil tussen beide landen?

Testen