Steekproef en Populatie > Toetsen van hypothesen
12345Toetsen van hypothesen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Doen, gebruik de normaleverdeling en je GR.

b

Hij gaat natuurlijk een steekproef trekken en kijken wat daar voor gemiddelde inhoud uitkomt. Maar dan?

Opgave 1
a

`text(P)(V < 1500|mu=1530 text( en ) sigma=18)~~0,048`

`0,048=4,8% < 5%`

b

Omdat het kritieke gebied aan twee zijden van de normaalkromme ligt.

c

Het vulgewicht is normaal verdeeld, dus daarmee ook de steekproevenverdeling.

Opgave 2
a

ongeveer `0,1649`

b
c

De standaardafwijking van het steekproefgemiddelde is `3,6` .

De grenzen van het kritieke gebied (1525 mL en 1535 mL) liggen dus meer dan 1 standaardafwijking maar minder dan 2 standaardafwijkingen van het steekproefgemiddelde van 1530 mL af. Er is dus wat voor te zeggen om de grenzen van het kritieke gebied wat meer te verleggen richting 2 standaardafwijkingen van het gemiddelde af. De kans om in het kritieke gebied terecht te komen, is dan kleiner en de fabrikant hoeft zijn machine dan minder snel bij te stellen.

Maar daar staat iets tegenover. Wie weet zijn er dan wel veel meer ontevreden klanten (als er vaak te weinig in zit) of derft de fabrikant te veel inkomsten, omdat hij te veel frisdrank voor eenzelfde prijs verkoopt (als er vaak te veel in zit).

Opgave 3
a

`text(P)(V < v | μ = 1530 text( en ) σ = 18/sqrt(25) ) = 0,05` geeft  `v~~1524,079` .

b

`text(P)(bar S < 1519 | μ = 1530 text( en ) σ = 18/sqrt(25) ) ~~ 0,0011`

Opgave 4
a

Het betreft dezelfde hypothesen als bij de hypothesetoets die de fabrikant uitvoert, namelijk:

`text(H)_0 : μ = 1530`

`text(H)_1 : μ < 1530`

b

Omdat het steekproefgemiddelde van `1521` lager is dan grenswaarde `1521,6` ligt dit in het kritieke gebied. `text(H)_0` moet worden verworpen.

c

`text(H)_0` wordt met een betrouwbaarheid van 99% verworpen.

De vulmachine vult de flessen met een gemiddelde lager dan 1530 mL.

d

ongeveer `0,0062`

Opgave 5
a
b

Het kritieke gebied voor deze hypothesetoets als de steekproefomvang 10 pakken is, bestaat uit alle gewichten die groter zijn dan 257,1 gram.  

Opgave 6
a

Nee.

b

Niets: hij laat de situatie zoals hij is.

Opgave 7
a

De grenswaarde is ongeveer `253,25` gram.

b

Als het gemiddelde steekproefgewicht lager is dan `253,25`  gram, zal de fabrikant het vulproces aanpassen omdat hij met voldoende waarschijnlijkheid weet dat de pakken hagelslag die hij levert te weinig hagelslag bevatten.

c

Grenswaarde rechterdeel van kritieke gebied is ongeveer `256,75` gram.

Normaalkromme: 

d

Ja (natuurlijk), want `253,75` is groter dan de grenswaarde van het linkerdeel van het kritieke gebied: het ligt dus niet in het kritieke gebied. De nulhypothese hoeft niet verworpen te worden.

Opgave 8
a

`text(H)_0` : `μ(G) = 255` gram

`text(H)_1` : `μ (G) < 255` gram

Het kritieke gebied bestaat uit alle gewichten die lager zijn dan ongeveer `253,5` gram.

b

Een steekproef bij de enkelzijdige toets leidt bij een hoger gemiddeld gewicht al tot aanpassing van het vulproces. De andere kant is dat een gemiddeld steekproefgewicht dat hoger ligt dan 255 gram nu niet meer tot aanpassing van het vulproces zorgt. 

Opgave 9

Je kunt ten onrechte `text(H)_0` verwerpen of ten onrechte `text(H)_0` niet verwerpen.

Opgave 10
a

`text(H)_0` : `μ = 3600`

`text(H)_1` : `mu < 3600`

b

`text(H)_0` wordt niet verworpen. De onderzoekers gaan ervan uit dat de gemiddelde levensduur van de batterijen inderdaad 3600 uur is.

Opgave 11
a

Een tweezijdige toets, want men toetst de bewering dat het gemiddelde gewicht 54,2 kg is tegen de bewering dat dat niet zo is.

b

`text(H)_0` : `mu=54,2` kg

`text(H)_1` : `mu ne 54,2` kg

c

De linkergrenswaarde is ongeveer 53,5 kg en de rechtergrenswaarde ongeveer 54,9 kg.

d

54,7 valt niet binnen het kritieke gebied, dus de nulhypothese wordt niet verworpen.

Opgave 12

Toevalsvariabele `D` is de hoeveelheid suiker in een pakje drinkyoghurt.

Hypothesetoets:

`text(H)_0` : `D(μ) = 12,5`

`text(H)_1` : `D( μ) > 12,5`

`text(P)(bar D > 16,4 | μ = 12,5 text( en ) σ = (3,1) / sqrt(50)) ~~ 2,9 * 10^(text(-)19)` ofwel vrijwel `0` .

Dit is inderdaad aanleiding om `text(H)_0` en dus ook de informatie op de pakjes te verwerpen.

Opgave 13
a

`text(H)_0` : `N(μ) = 0,022` met toevalsvariabele `N` het percentage natriumnitriet in vleeswaren.

b

Een eenzijdige (rechtszijdige) hypothesetoets met

`text(H)_1` :  `N( μ) > 0,022` met toevalsvariabele `N`   het percentage natriumnitriet in vleeswaren.

c

Steekproef: `bar(N) ~~ 0,022128` en `sigma(N)~~ 0,000458` .
`text(P)(bar(N) > 0,022128 | mu = 0,022 text( en ) sigma ~~ (0,000458)/(sqrt(25))) ~~ 0,0811`

Deze kans is groter dan 5%, dus `text(H)_0` wordt niet verworpen. De keuringsdienst krijgt geen gelijk.

Opgave 14

Het gemiddelde `177,375`  gram van de steekproef  ligt niet in het kritieke gebied en dus is de afwijking niet statistisch significant.

Opgave 15

De gymnastiekdocent krijgt op grond van deze hypothesetoets gelijk.

bron: examen 2009-II

Opgave 16
a

Je kunt zeggen dat  `text(H)_0` staat voor  "onschuldig"  en `text(H)_1` voor  "schuldig" . De fabrikant beweert bijvoorbeeld iets en de inspectie toetst of de bewering waar is (onschuldig) of niet (schuldig). 

Het wordt (normaal gesproken) ernstiger gevonden om een onschuldige te veroordelen (onterecht `text(H)_0` verwerpen) dan een schuldige vrij te spreken (onterecht `text(H)_1` niet accepteren). 

b

Als je een fout van de eerste soort helemaal wil uitsluiten, zul je de nulhypothese nooit moeten verwerpen. Dit is niet de bedoeling van een hypothesetoets.

Opgave 17
a

Het gemiddelde gewicht van de pakken suiker van deze fabrikant is `1002` gram.

b

Het kritieke gebied is ...

c

De kans op een gemiddeld gewicht dat lager is dan 1000 gram bij een steekproefomvang van 10 is groter dan de gewenste 1% of minder: de eis van de Consumentenbond is in dit geval onmogelijk.

De kans op een gemiddeld gewicht dat lager is dan 1000 gram bij een steekproefomvang van 20 is wel klein genoeg voor de eis van de Consumentenbond.

d

De steekproefomvang heeft, bij een vast gekozen significantieniveau, invloed op de grootte van het kritieke gebied: het beslissingsvoorschrift benoemt daarom bijna altijd, naast de gewenste steekproefomvang, ofwel alleen het significantieniveau ofwel alleen het kritieke gebied.

Opgave 18
a

Doen.

b

Ongeveer `0,02`

c
Nee.
verder | terug