Steekproef en Populatie > Toetsen van hypothesen
12345Toetsen van hypothesen

Uitleg

Op een fles frisdrank staat dat de inhoud `1,5` liter is. Natuurlijk zal de inhoud nooit precies `1,5` liter zijn. De vulmachine is zodanig afgesteld dat het gemiddelde `1530` mL is en de standaardafwijking `18` mL. Het vulgewicht `V` is normaal verdeeld. Nu bevat minder dan `5` % van de flessen te weinig frisdrank.

De fabrikant controleert regelmatig de afstelling van zijn vulmachine door in een steekproef van `25` flessen de gemiddelde inhoud te meten. De fabrikant voert een hypothesetoets uit: hij toetst een statistische bewering op zijn waarschijnlijkheid.

De nulhypothese `text(H)_0` van de fabrikant is de hypothese dat de vulmachine de flessen met gemiddeld `1530` mL vult. De alternatieve hypothese `text(H)_1` is een bewering die de nulhypothese bestrijdt:
`text(H)_0` : gemiddelde is `1530` mL
`text(H)_1` : gemiddelde is ongelijk aan `1530` mL

Ongelijk aan `1530` mL betekent dat het gemiddelde zich aan twee kanten van `1530` kan bevinden. Dan voer je een tweezijdige toets uit. Je kunt een eenzijdige toets uitvoeren. In het geval van `text(H)_1` : gemiddelde groter dan `1530` mL, spreek je van een rechtszijdige toets, in het geval van `text(H)_1` : gemiddelde kleiner dan `1530` mL, van een linkszijdige toets.

Vooraf heeft de fabrikant een beslissingsvoorschrift opgesteld, bijvoorbeeld: als het gemiddelde volume van een fles uit de steekproef kleiner is dan `1525` mL of groter dan `1535` mL, gaat hij ervan uit dat zijn nulhypothese niet klopt. De verzameling van vulgemiddeldes die minder zijn dan `1525` mL of meer dan `1535` mL heet het kritieke gebied. Valt het gemiddelde volume van een fles in de steekproef buiten het kritieke gebied, dan gaat de fabrikant  er niet meer van uit dat de vulmachine de flessen vult met een gemiddelde van `1530` mL. Hij verwerpt daarmee de nulhypothese en accepteert de alternatieve hypothese. Het gevolg zal zijn dat hij de machine bij moet stellen.

Er is een kans dat de fabrikant de nulhypothese ten onrechte verwerpt. Die kans wordt het significantieniveau `α` genoemd. Het kan toevallig zo zijn dat het gemiddelde volume van de steekproef een keer bijzonder klein of bijzonder groot is. De fabrikant zal van tevoren een afweging gemaakt hebben over de waardes die in het kritieke gebied komen: zijn het er te veel, dan is de kans dat hij ten onrechte de vulmachine anders afstelt groot. Zijn het er te weinig, dan is de kans dat hij zijn vulmachine ten onrechte niet aanpast weer groot.

Opgave 1

Gebruik de gegevens uit de uitleg.

a

Reken na dat bij een gemiddelde van 1530 mL en een standaardafwijking van 18, minder dan 5% van de flessen te weinig frisdrank bevat.

b

De hypothesetoets in de uitleg heet een tweezijdige hypothesetoets.
Leg uit waarom.

c

Waarom kan men zeggen dat de steekproevenverdeling normaal verdeeld is?

Opgave 2

Gebruik de gegevens uit de uitleg.

a

Bereken in vier decimalen de kans dat het gemiddelde volume van de steekproef van 25 flessen frisdrank in het kritieke gebied valt dat de fabrikant bepaald heeft.

b

Schets de normaalkromme van de steekproevenverdeling en maak daarin duidelijk:

  • de verzameling waardes van beide onderdelen van het kritieke gebied;

  • de kansen die bij ieder van de onderdelen van het kritieke gebied horen.

c

Beargumenteer met statistische argumenten of je deze grenswaardes van het kritieke gebied zou aanbevelen aan de fabrikant of juist niet.

verder | terug