Steekproef en Populatie > Populatiegemiddeldes schattenAntwoorden van de opgaven
Dat zou wel heel toevallig zijn. Een andere steekproef heeft vast een ander gemiddelde.
Er zal een soort interval omheen moeten, zoiets als `271` cm plus of min een bepaald getal. Hoe je dit bepaalt is onderwerp van dit onderdeel.
Bekijk de
dat de lengte van een zonnebloem in midden-Frankrijk met een kans van `95` % tussen de `2,78` en de `2,88` meter ligt.
dat de gemiddelde lengte van een zonnebloem in midden-Frankrijk met een kans van `95` % tussen de `2,78` en de `2,88` meter ligt.
Volgens de tweede vuistregel van de normaalkromme ligt `95` % van de waardes op maximaal `2` standaardafwijkingen afstand van het gemiddelde.
Een `z` -waarde geeft het aantal standaardafwijkingen afstand van het gemiddelde.
Bij de rechtergrens van het `95` %-betrouwbaarheidsinterval hoort een `z` -waarde waar nog `2,5` % boven ligt.
`text(P)(Z lt z | μ = 0 text( en ) σ = 1) = 0,975` geeft `z ~~ 1,96` .
De `z` -waarde die bij de linkergrens hoort, is vanwege de symmetrie gelijk aan `text(-)1,96` .
De steekproefomvang groter maken. Dan wordt de standaardafwijking van de steekproevenverdeling kleiner, dus het gebied ook.
Ja, om de betrouwbaarheid groter te maken, moet het gebied namelijk groter worden.
`253,75 + 2 * 4/sqrt(200) ~~ 254,3` gram
Met `text(P)(Z lt z | μ = 0 text( en ) σ = 1) = 0,975` vind je `z~~1,96` .
linkergrens: `253,75 - 1,96 * 4/sqrt(200) ~~ 253,2` gram
rechtergrens: `253,75 + 1,96 * 4/sqrt(200) ~~ 254,3` gram
Het `95` %-betrouwbaarheidsinterval: `[253,2 ; 254,3]` .
Lees uit de tekst: `bar(X) = 253,75` en `σ = 4` en `n = 50` .
linkergrens: `253,75 - 2 * 4 / sqrt(50) ~~ 252,6` gram.
rechtergrens: `253,75 + 2 * 4 / sqrt(50) ~~ 254,9` gram.
95%-betrouwbaarheidsinterval: `[252,6 ; 254,9]` .
De rechter- en linkergrens liggen nu verder van het steekproefgemiddelde af: de breedte van het betrouwbaarheidsinterval is groter geworden.
Nee, want in beide de gevallen ligt de waarde van
`255`
buiten het
`95`
%-
betrouwbaarheidsinterval: er blijft reden genoeg om aan te nemen dat de pakken hagelslag
gemiddeld te weinig hagelslag bevatten.
Hoe groter de steekproefomvang, hoe kleiner de breedte van het betrouwbaarheidsinterval.
Hoe smaller het betrouwbaarheidsinterval, des te minder wijkt het steekproefgemiddelde af van het daadwerkelijke populatiegemiddelde.
Anders gezegd: hoe smaller het betrouwbaarheidsinterval, des te nauwkeuriger is de schatting van het populatiegemiddelde door het steekproefgemiddelde.
Hoe hoger het betrouwbaarheidsniveau, des te breder is het betrouwbaarheidsinterval.
Hoe lager het betrouwbaarheidsniveau, des te smaller is het betrouwbaarheidsinterval.
Een breder betrouwbaarheidsinterval geeft een grotere kans dat het populatiegemiddelde daar inderdaad in valt: je weet dus zekerder dat je een juiste bewering doet, maar die bewering is wel minder nauwkeurig.
`text(P)(X lt z | μ = 0 text( en ) σ = 1) = 0,995` geeft `z~~2,58` .
linkergrens: `999 - 2,58 * 3/sqrt(50) ~~ 997,9` gram.
rechtergrens: `999 + 2,58 * 3/sqrt(50) ~~ 1000,1` gram.
Ook met een `99` %-betrouwbaarheidsinterval mag de fabrikant niet beweren dat het gemiddelde gewicht van de pakken suiker `1001` gram is.
linkergrens: `text(gemiddelde) - 1,64 * (3)/sqrt(10)` g/L.
rechtergrens: `text(gemiddelde) + 1,64 * (3)/sqrt(10)` g/L.
De breedte van het `90` %-betrouwbaarheidsinterval is ongeveer `2*1,64*(3)/(sqrt(10)) ~~ 3,1` g/L.
De breedte van het `90` %-betrouwbaarheidsinterval is ongeveer `2*1,64*3/sqrt(n) = (9,84)/sqrt(n)` en dit moet kleiner zijn dan `2` .
`(9,84)/sqrt(n) lt 2` geeft `n gt 24` .
Er moeten dan `25` of meer metingen gedaan worden.
linkergrens: `15000 - 1,96*1640/(sqrt(500)) ~~ 15144` uur.
rechtergrens: `15000 + 1,96*1640/(sqrt(500)) ~~ 14856` uur.
`95` %-betrouwbaarheidsinterval is ongeveer `[14856, 15144]` .
Met een betrouwbaarheid van `95` % kun je aannemen dat bij een volgende steekproef de gemiddelde levensduur van de lampen in dit interval ligt.
`text(P)(Z lt z | μ = 0 text( en ) σ = 1) = 0,95` geeft `z ~~ 1,64` .
linkergrens: `15000 - 1,64*1640/(sqrt(500)) ~~ 14880` uur.
rechtergrens: `15000 + 1,64*1640/(sqrt(500)) ~~ 15120` uur.
`90` %-betrouwbaarheidsinterval is ongeveer `[14880, 15120]` .
linkergrens: `12,5 - 2*(5,3)/(sqrt(250)) ~~ 11,8` kg.
rechtergrens: `12,5 + 2*(5,3)/(sqrt(250)) ~~ 13,2` kg.
`95` %-betrouwbaarheidsinterval is ongeveer `[11,8; 13,2]` .
linkergrens: `25,1 - 2*(0,4)/(sqrt(30)) ~~ 25,0` cL
rechtergrens: `25,1 + 2*(0,4)/(sqrt(30)) = 25,2` cL
`95` %-betrouwbaarheidsinterval is ongeveer `[25,0; 25,2]` .
Geen van beiden. Het `95` %-betrouwbaarheidsinterval betekent dat `2,5` % van de gemiddelden van `30` flesjes minder dan `25` cL opleveren.
linkergrens: `147 - 2*14/(sqrt(50)) ~~ 143` uur.
rechtergrens: `147 + 2*15/(sqrt(50)) ~~ 151` uur.
`95` %-betrouwbaarheidsinterval is ongeveer `[143, 151]` .
`140` valt niet in het betrouwbaarheidsinterval. Dus de uitspraak mag De Consumentenbond wel doen.
Het aantal met meer dan `3` calorieën verminderen, dan valt `140` binnen het `95` %-betrouwbaarheidsinterval.
Je weet dat `sigma = (0,35)/(sqrt n)` .
De afwijking van het gewicht mag maximaal
`0,2`
mg zijn.
Bij een betrouwbaarheid van
`99`
% komt dit overeen met ongeveer
`2,58*sigma`
.
Dus
`sigma ~~ (0,2)/(2,58) ~~ 0,078`
mg.
`0,078 = (0,35)/(sqrt(n))`
oplossen geeft:
`n ~~ 20,4`
.
De steekproefomvang moet minstens
`21`
zijn.
Het gemiddelde wordt `(30*52,2 + 3)/30 = 52,3` cm.
De standaardafwijking wordt `sqrt(2,38^2 - 2,3) ~~ 1,83` .
linkergrens: `52,3 - 1,64*1,83 ~~ 49,3` cm.
rechtergrens: `52,3 + 1,64*1,83 ~~ 55,3` cm.
Het `90` %-betrouwbaarheidsinterval is ongeveer `[49,3; 55,3]` .
Het gemiddelde wordt `52,9 - 1 = 51,9` cm.
De standaardafwijking blijft `2,41` .
linkergrens: `51,9 - 2,58*2,41 ~~ 45,7` cm.
rechtergrens: `51,9 + 2,58*2,41 ~~ 58,1` cm.
Het `90` %-betrouwbaarheidsinterval is ongeveer `[45,7; 58,1]` .
`[41,6; 46,4]`
`[40,4; 47,6]`
De laborant moet minstens zeven metingen doen.