`hat(p) = 130/200 = 0,65`

`sigma = sqrt((0,65*(1-0,65))/200) ~~ 0,034`

`95` %-betrouwbaarheidsinterval is `[0,65 - 1,96*0,034; 0,65 + 1,96*0,034] ~~ [0,58; 0,70]` .

`hat(p) = 0,63`

`n = 0,12*11000 = 1320`

`sigma = sqrt((0,63*(1-0,63))/1320) ~~ 0,013`

`95` %-betrouwbaarheidsinterval is `[0,63 - 1,96*0,013; 0,63 + 1,96*0,013] ~~ [0,60; 0,66]` .

Een linkszijdige toets.

Nee, want `0,354 gt 0,1` .

`X` is het aantal leerlingen dat vanuit het havo is doorgestroomd.

`text(P)(X = 0) = 0,928^30 = 0,1062...`

`text(P)(X = 1) = 30*0,928^29*0,072 = 0,2473...`

`text(P)(X le 1) = 0,1062... + 0,2473... ~~ 0,354`

Of gebruik de binomiale verdeling op je GR.

`hat(p) = 0,14` en `n = 50` .

linkergrens: `0,14 - 2 * sqrt((0,14*(1 - 0,14)) / 50) ~~ 0,042` .

rechtergrens: `0,14 + 2 * sqrt((0,14*(1 - 0,14)) / 50) ~~ 0,238` .

Het `95` %-betrouwbaarheidsinterval is `[0,042 ; 0,238]` , dus tussen `4,2` % en `23,8` %.

Ja, dat is mogelijk want er blijft een kans van `5` % dat ook bij een volgende steekproef de populatieproportie NIET in het `95` %-betrouwbaarheidsinterval ligt. En de werkelijke proportie van de totale populatie kun je alleen weten als je ook echt alle gamefiguren hebt gecontroleerd.

`hat(p) = 41/50 = 0,82`

`sigma = sqrt((0,82*(1-0,82))/50) ~~ 0,0543`

linkergrens: `0,82 - 1,64 * sqrt((0,82*(1 - 0,82)) / 50) ~~ 0,731` .

rechtergrens: `0,82 + 1,64 * sqrt((0,82*(1 - 0,82)) / 50) ~~ 0,909 ` .

95%-betrouwbaarheidsinterval: `[0,73 ; 0,91]` .

Met  `90` % betrouwbaarheid ligt in een steekproef van `50` het percentage van dit type laptop dat `8` uur kan werken op de accu tussen `73` % en `91` %.

`R` is een discrete toevalsvariabele. Als je de complementregel toepast, krijg je dat `text(P)(R ge 2) = 1-text(P)(R le 1)` .

`text(P)(R ge 2) = 1 - text(P)(R le 1) = 1 - text(P)(R = 0 text( of ) R = 1)`

`text(P)(R = 0) = (1 - 0,04)^10 ~~ 0,6648`

`text(P)(R = 1) = 10 * 0,04 * (1 - 0,04)^9 ~~ 0,2770`

`text(P)(R ge 2) = 1 - (0,6648 + 0,2770) ~~ 0,0582`

Of gebruik `text(P)(R ge 2) = 1 - text(P)(R le 1 | p = 0,04 text( en ) n = 10) ~~ 0,0582` met behulp van de binomiale kansverdeling.

`hat(p) = 833/1500 ~~ 0,555`

`sigma = sqrt((0,555 *(1-0,555))/1500) ~~ 0,0128`

`[0,555 - 1,96*0,0128; 0,555 + 1,96*0,0128] ~~ [0,53; 0,58]` , dus tussen `53` % en `58` %.

Linkergrens: `55 - 2*100*sqrt((0,55*(1-0,55))/1988) ~~ 52,8` %.

Rechtergrens: `55 + 2*100*sqrt((0,55*(1-0,55))/1988) ~~ 57,2` %.

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval is `[52,8; 57,2]` .

`hat(p) = 0,61` en `sigma = sqrt((0,61*(1-0,61))/1988) ≈ 0,0109` .

Linkergrens: `61 - 2*100*sqrt((0,61*(1-0,61))/1988) ~~ 58,8` %.

Rechtergrens: `61 + 1,96*100*sqrt((0,61*(1-0,61))/1988) ~~ 63,2` %.

Het betrouwbaarheidsinterval is `[58,8; 63,2]` .

Met (minimaal) `95` % betrouwbaarheid is het aantal voorstanders gestegen (in een nieuwe steekproef van `1988` Belgen). Het interval bij b ligt geheel voorbij dat bij a.

Dit is een rechtszijdige hypothesetoets met:

`text(H)_0` : `p = 0,08`

`text(H)_1` : `p gt 0,08 `

Toevalsvariabele `Z` is het aantal keer dat Bart 6 ogen gooit.

Te berekenen: `text(P)(Z ge 4)` als de kans op 6 ogen gooien `0,08` is.

`text(P)(K ge 4) = 1 – text(P)(K le 3)`

`text(P)(Z = 0) = 0,92^30 = 0,0819...`

`text(P)(Z = 1) = 30*0,92^29*0,08 = 0,2138...`

`text(P)(Z = 2) = ((30),(2))*0,92^28*0,08^2 = 0,2696...`

`text(P)(Z = 3) = ((30),(3))*0,92^27*0,08^3 = 0,2188...`

`text(P)(Z ge 4) = 1 - 0,0819... - 0,2138... - 0,2696... - 0,2188... ~~ 0,2158`

Deze kans is groter dan het significantieniveau van `10` %. De bewering van Minke hoeft niet verworpen te worden.

De breedte van het `95` %-betrouwbaarheidsinterval is `0,06` . DIt is (ongeveer) gelijk aan `4*sigma` . Hieruit volgt dat `sigma = (0,06)/4 = 0,015` .

`sigma = sqrt(hat(p)*( 1- hat(p)))/n` geeft `0,015 = sqrt((0,08*(1-0,08))/n)` .

Hieruit volgt `0,015^2 = (0,0736)/n` zodat `n ~~ 237` .

`34,5` is de kleinste waarde die afgerond `35` is.

`text(H)_0` : `p = 0,05`

`text(H)_1` : `p gt 0,05 `

Je mag de kans op `35` of meer kapotte lampen normaal benaderen.

`text(P)(X gt 34,5| mu = 25 text( en ) sigma = sqrt(23,75)) ~~ 0,0256`

Deze kans is kleiner dan `5` %, dus `text(H)_0` wordt verworpen.

De bewering van de fabrikant is niet juist.

Kleinste steekproefuitslag: `467` en grootste steekproefuitslag: `585` .

Gemiddelde steekproefuitslag: `(467 + 585) / 2 = 526` .

Gemiddelde steekproefproportie: `526 / 2000 = 0,263` .

Standaardafwijking: volgens de vuistregels is de afstand tussen de maximale waarde en de minimale waarde grofweg `6` keer de standaardafwijking: `(585 – 467) / 6 ~~ 19,7` .

De standaardafwijking is `(19,7)/2000 ~~ 0,01` .

linkergrens: `0,263 – 2 * 0,01 = 0,243`

rechtergrens: `0,263 + 2 * 0,01 = 0,283`

`95` % van de `400` steekproeven hebben een steekproefproportie die een waarde heeft tussen de `0,243` en de `0,283` .

Omdat de steekproeven een grote omvang hebben, zal de echte populatieproportie `p` een waarde hebben die heel dicht bij de gemiddelde proportie van deze steekproevenverdeling ligt; de kans dat `p` kleiner is dan `0,243` of groter is dan `0,283` is erg klein.

`hat(p) = 512/2000 = 0,256`

linkergrens: `0,256 - sqrt((0,256 * (1 - 0,256))/2000) ~~ 0,246`

rechtergrens: `0,256 + sqrt((0,256 * (1 - 0,256))/2000) ~~ 0,266`

`95` %-betrouwbaarheidsinterval: `[0,246 ; 0,266]`

Met een kans van `95` % ligt bij een nieuwe steekproef van `2000` het gemiddelde in het interval  `[0,246 ; 0,266]` en dat komt overeen met de gevonden gemiddelde proportie uit de steekproevenverdeling: die duidt op een gemiddelde dat rondom de `0,263` ligt en `0,263` ligt inderdaad in het `95` %-betrouwbaarheidsinterval van de laatst getrokken steekproef.

In `95` % van dergelijke steekproeven zal tussen `33,7` % en `40,3` % van het stadspanel de lokale omroep niet kennen.

In `95` % van dergelijke steekproeven zal tussen `59,7` % en `66,3` % van het stadspanel de lokale omroep wel kennen.

Je weet niet of het onderzoek aselect en representatief is. En inwoners kunnen bijvoorbeeld lokale en regionale omroepen door elkaar halen.