Twee normaal verdeelde populaties kun je statistisch vergelijken met behulp van een hypothesetoets: de verschiltoets voor gemiddelden. Dat doe je door van beide populaties een steekproef te nemen en het verschil tussen beide steekproefgemiddelden als toetsvariabele te gebruiken.

Een fabrikant maakt oorbeschermers. Maar hij verkoopt ook tweedehands oorbeschermers. Hij wil de kwaliteit van beide populaties oorbeschermers vergelijken, want hij vermoedt dat de tweedehands versies van een lagere kwaliteit zijn. Hij neemt een steekproef van `100` nieuwe hoorbeschermers en `125` tweedehands oorbeschermers. Hij meet het aantal dB (decibel) dat de gehoorbeschermer dempt. De nieuwe hoorbeschermers dempen gemiddeld `bar(X) = 30,1` dB en de tweedehands oorbeschermers `bar(Y) = 27,2` dB.

De geluidsdemping van al deze oorbeschermers is normaal verdeeld met een standaardafwijking `σ` van `6` dB.

De te gebruiken toetsvariabele is het verschil `V = X - Y` .

Bij een normaal verdeelde verschiltoets voor gemiddelden geldt altijd als nulhypothese:

`text(H)_0` : `μ_V = 0` (er is geen verschil tussen `μ_X` en `μ_Y` ).

In dit geval geldt als alternatieve hypothese:
`text(H)_1` : `μ_V > 0`

De overschrijdingskans is:

`text(P)(bar(V) > 2,9 | μ_V = 0 text( en ) σ_V = sqrt((6^2)/100 + (6^2)/125)) ~~ 0,0002`

Conclusie:
Zelfs als hij een significatieniveau van `1` % hanteert, wordt `text(H)_0` verworpen, want er is een significant verschil in gemiddelde demping tussen de twee populaties oorbeschermers.