Bijvoorbeeld $\text{P}(X+Y=2)=\text{P}(x=2\text{en}Y=0)=\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,40}=\mathrm{0,08}$, enzovoorts.

Dat $X$ en $Y$ voor alle gevallen onafhankelijk zijn. Anders geldt de productregel niet op de bij a beschreven manier.

Doen, antwoorden in de uitleg.

Doen.

Omdat deze manier van optellen sterk lijkt op het toepassen van de stelling van Pythagoras.

Doen, antwoorden in het voorbeeld.

Hier zie je de kansverdeling van $X+Y$:

$x+y$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$\text{P}(X+Y=x+y)$	0,0002	0,0006	0,0014	0,0030	0,0055	0,0091	0,0129	0,0192	0,0286	0,0341	0,0558	0,0658	0,0861	0,1015	0,1018	0,1058	0,1045	0,0705	0,0475	0,0528	0,0192

Nu heeft $3X$ de waarden $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, ..., $29$, $30$. Je moet de bijbehorende kansen uitrekenen, dat is weer flink wat werk. Bijvoorbeeld $\text{P}(3X=2)=\text{P}(X=0\text{en}Y=2)+\text{P}(X=1\text{en}Y=1)+\text{P}(X=2\text{en}Y=1)$, etc.

Dan moet je de kansverdeling van $3X$ echt helemaal maken en $\text{E}\left(3X\right)$ en $\sigma \left(3X\right)$ daarmee berekenen.

$\text{E}(X+2)=\text{E}\left(X\right)+\text{E}\left(2\right)=\text{E}\left(X\right)+2$.

$\text{sigma}(X+2)=\sqrt{({\left(\text{sigma}\left(X\right)\right)}^2+{\left(\text{sigma}\left(2\right)\right)}^2)}=\text{sigma}\left(X\right)$, want $\text{sigma}\left(2\right)=0$.

Hier zie je de kansverdeling van $X+Y$:

$x+y$	5	10	15	6	11	16
$\text{P}(X+Y)=x+y$	0,0375	0,0600	0,0525	0,2125	0,3400	0,2975

Nu is $\text{E}\left(X\right)=\mathrm{0,85}$, $\text{E}\left(Y\right)=\mathrm{10,5}$ en $\text{E}(X+Y)=\mathrm{11,35}$, en $\mathrm{0,85}+\mathrm{10,5}=\mathrm{11,35}$.

$\sigma \left(X\right)\approx \mathrm{0,357}$, $\sigma \left(Y\right)\approx \mathrm{3,841}$ en $\sigma (X+Y)\approx \mathrm{3,857}$ en $\mathrm{3,857}\approx \sqrt{{\mathrm{0,357}}^2+{\mathrm{3,841}}^2}$.

Hier zie je de kansverdeling van $10X$ (in vier decimalen nauwkeurig):

$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$\text{P}(10X=k)$	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0013	0,0085	0,0401	0,1298	0,2759	0,3474	0,1969

Nu is $\text{E}\left(10X\right)=\mathrm{8,5}=10\cdot \mathrm{0,85}$ en $\sigma \left(10X\right)\approx \mathrm{1,13}\approx \sqrt{10}\cdot \mathrm{0,357}$.

Hier zie je de kansverdeling van $Y-X$:

$x+y$	5	10	15	4	9	14
$\text{P}(X+Y=x+y)$	0,0375	0,0600	0,0525	0,2125	0,3400	0,2975

Nu is $\text{E}\left(X\right)=\mathrm{0,85}$, $\text{E}\left(Y\right)=\mathrm{10,5}$ en $\text{E}(X+Y)=\mathrm{9,65}$, en $\mathrm{10,5}-\mathrm{0,85}=\mathrm{9,65}$.

$\sigma \left(X\right)\approx \mathrm{0,357}$, $\sigma \left(Y\right)\approx \mathrm{3,841}$ en $\sigma (Y-X)\approx \mathrm{3,857}$ en $\mathrm{3,857}\approx \sqrt{{\mathrm{0,357}}^2+{\mathrm{3,841}}^2}$.

De kansverdeling van $A$ is:

$a$	4	5	6	7	8
$\text{P}(A=a)$	0,15	0,18	0,29	0,28	0,10

De kansverdeling van $B$ is:

$b$	5	6	7
$\text{P}(B=b)$	0,32	0,41	0,27

$C$ is het gemiddelde cijfer van de twee practicumtoetsen.

$\text{E}\left(C\right)=\frac{1}{2}\cdot \text{E}\left(A\right)+\frac{1}{2}\cdot \text{E}\left(B\right)=\frac{1}{2}\cdot 6+\frac{1}{2}\cdot \mathrm{5,95}=\mathrm{5,975}$
$\sigma \left(C\right)=\sqrt{{\left(\sigma \left(\frac{1}{2}A\right)\right)}^2+{\left(\sigma \left(\frac{1}{2}B\right)\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{{\left(\sigma \left(A\right)\right)}^2+{\left(\sigma \left(B\right)\right)}^2}\approx \sqrt{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{{\mathrm{1,208}}^2+{\mathrm{0,766}}^2}\approx \mathrm{1,011}$

Per geldstuk geldt deze kansverdeling voor het aantal keren munt $M$ dat boven komt:

$m$	0	1
$\text{P}(M=m)$	2/3	1/3

En dus is $\text{E}\left(M\right)=\frac{1}{3}$ en $\sigma \left(M\right)=\frac{2}{9}$.
Werp je $100$ keer met dit geldstuk, dan mag je $100\cdot \frac{1}{3}\approx 33$ keer munt verwachten.

Daarbij hoort een standaardafwijking van $\sqrt{100}\cdot \frac{2}{9}\approx 2$.

De kansverdeling van het aantal keer kruis $K$ is:

$k$	0	1	2
$\text{P}(K=k)$	0,25	0,50	0,25

$\text{E}\left(K\right)=1$

$\sigma \left(K\right)=\sqrt{\mathrm{1,5}}\approx \mathrm{0,71}$

$\text{E}\left(10K\right)=10\cdot 1=10$

$\sigma \left(10K\right)=\sqrt{10}\cdot \sqrt{\mathrm{1,5}}=\sqrt{\left(15\right)}\approx \mathrm{7,07}$