Discrete kansmodellen

Opgave 8

Hier zie je twee kansverdelingen. De stochasten $X$ en $Y$ zijn onafhankelijk van elkaar.

$x_{i}$	0	1		$y_{j}$	5	10	15
$P (X = x_{i})$	0,15	0,85		$P (Y = y_{j})$	0,25	0,40	0,35

a

Laat zien, dat $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ .

b

Laat ook zien, dat $σ (X + Y) = \sqrt{{(σ (X))}^{2} + {(σ (Y))}^{2}}$ .

c

Laat zien, dat $E (10 X) = 10 \cdot E (X)$ en $σ (10 X) = \sqrt{10} \cdot σ (X)$ .

Opgave 9

Gebruik de twee kansverdelingen van de voorgaande opgaven nog eens.

a

Maak een kansverdeling van $Y - X$ .

b

Laat zien, dat $E (Y - X) = E (Y) - E (X)$ .

c

Laat ook zien, dat $σ (Y - X) = \sqrt{{(σ (X))}^{2} + {(σ (Y))}^{2}}$ .

Opgave 10

Voor een bepaald onderdeel uit het schoolexamen moeten twee practicumtoetsen gemaakt worden. De toetsen zijn op die school door de jaren heen zodanig met elkaar te vergelijken, dat de school van het cijferbeeld betrouwbaar statistisch materiaal heeft verkregen.

		2e toets
		5	6	7
1e toets	4	10	5	0
	5	11	5	2
	6	8	14	7
	7	3	13	12
	8	0	4	6

De tabel laat zien dat bijvoorbeeld $13$ % van alle deelnemers aan beide toetsen voor de eerste toets een $7$ haalden en voor de tweede een 6.
Stochast $A$ is het cijfer dat een willekeurige leerling op grond van deze statistiek voor de eerste toets behaalt. Stochast $B$ is het cijfer dat diezelfde leerling voor de tweede toets behaalt. Stochast $C = \frac{1}{2} (A + B)$ .

a

Stel de kansverdelingen voor $A$ en $B$ op.

b

Welke betekenis heeft stochast $C$ ?

c

Leid de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van stochast $C$ af uit die van $A$ en $B$ .

Opgave 11

Als je een lot koopt in de staatsloterij is de kans dat er op dat lot een prijs valt $0,14$ . Stel je voor dat je met een grote groep medeleerlingen tien staatsloten hebt gekocht.

Op hoeveel loten verwacht je een prijs? Met welke standaardafwijking?

Opgave 12

Stel dat je aan de kruiszijde van een geldstuk iets hebt afgeslepen. De kans op munt is daardoor $p$ geworden. Er wordt met deze munt geworpen. Op de lange duur blijft in ongeveer één op de drie keer gooien munt boven komt.

a

Je werpt nu $100$ keer met dit geldstuk. Hoeveel keer kruis mag je verwachten?

b

Welke standaardafwijking hoort daar bij?

Verwerken