Discrete kansmodellen

Discrete kansmodellen > Stochasten optellen

123456Stochasten optellen

Voorbeeld 2

Voor boogschutter A is stochast $X$ het aantal punten dat hij bij elk schot behaalt.

$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$P (X = x)$	0,02	0,02	0,04	0,10	0,09	0,11	0,12	0,12	0,15	0,15	0,08

Bij elke schotbeurt worden drie pijlen op het doel afgevuurd en de scores opgeteld.
Bereken de verwachting en de standaarddeviatie voor elke schotbeurt.

> antwoord

Elke afgeschoten pijl beweegt onafhankelijk van de andere twee, dus bij elke schotbeurt hoort de stochast $S = X + X + X = 3 X$ .

De verwachting per schotbeurt is daarom
$E (3 X) = E (X + X + X) = E (X) + E (X) + E (X) = 3 \cdot E (X)$ .
De standaarddeviatie per schotbeurt is
$σ (3 X) = σ (X + X + X) = \sqrt{{(σ (X))}^{2} + {(σ (X))}^{2} + {(σ (X))}^{2}} = \sqrt{3 \cdot {(σ (X))}^{2}} = \sqrt{3} \cdot σ (X)$ .

Dit betekent (zie ook Voorbeeld 1) dat voor elke schotbeurt geldt:
$E (3 X) = 3 \cdot 6,22 = 18,66$ en $σ (3 X) \approx \sqrt{3} \cdot 2,56 = 4,43$ punten.

Opgave 5

In Voorbeeld 2 worden de kansverdelingen van $X$ en $3 X$ vergeleken.

Hoe ziet de kansverdeling van $3 X$ er uit (ga hem niet helemaal maken!)?

Hoe kun je nagaan dat $E (3 X) = 3 \cdot E (X)$ en $σ (3 X) = \sqrt{3} \cdot σ (X)$ zonder van de optelregels gebruik te maken?

Opgave 6

Bekijk de kansverdeling van boogschutter A in Voorbeeld 2 nog eens. Stel je voor dat het aantal punten van elke ring $2$ hoger is. De stochast wordt dan $X + 2$ .

Waarom is $E (X + 2) = E (X) + 2$ ?

Waarom is $sigma (X + 2) = sigma (X)$ ?

verder | terug