Discrete kansmodellen

Discrete kansmodellen > Stochasten optellen

123456Stochasten optellen

Uitleg

Iemand doet aan twee kansspelen mee. Bij het eerste spel kan hij 2, 4, of 6 punten verdienen, bij het tweede spel 0 of 10 punten. Op grond van voorgaande resultaten heeft hij deze kansverdelingen opgesteld.

$x$	2	4	6		$y$	0	10
$P (X = x)$	0,20	0,30	0,50		$P (Y = y)$	0,40	0,60

Voor de wedstrijd moeten de scores van beide spelen worden opgeteld. Daarbij past deze kansverdeling:

$x + y$	2	4	6	12	14	16
$P (X + Y = x + y)$	0,08	0,12	0,20	0,12	0,18	0,30

Je kunt nu zelf nagaan dat: $E (X) = 4,6$ en $E (Y) = 6$ en $E (X + Y) = 10,6$ . Hier geldt dus dat de verwachtingswaarde van $X + Y$ gelijk is aan de som van de afzonderlijke verwachtingswaarden.
Ook kun je nagaan dat: $Var (X) = 2,44$ en $Var (Y) = 24$ en $Var (X + Y) = 26,44$ . Ook de variantie van $X + Y$ gelijk is aan de som van de afzonderlijke varianties.

Omdat ${(σ (X))}^{2} = Var (X)$ moet gelden ${(σ (X + Y))}^{2} = {(σ (X))}^{2} + {(σ (Y))}^{2}$ .
Ga na, dat $σ (X + Y) = \sqrt{{(σ (X))}^{2} + {(σ (Y))}^{2}}$ .

Opgave 2

Bekijk de kansverdelingen in de Uitleg .

Beschrijf hoe de kansverdeling van $X + Y$ tot stand is gekomen.

Welke stilzwijgende aanname is daarbij gedaan?

Opgave 3

In de Uitleg wordt het verband besproken tussen de verwachtingswaarden en de standaarddeviaties van $X$ , $Y$ en $X + Y$ .

Bereken zelf de verwachtingswaarden van $X$ , $Y$ en $X + Y$ en ga na dat $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ .

Bereken zelf de standaarddeviaties van $X$ , $Y$ en $X + Y$ en ga na dat $σ (X + Y) = \sqrt{{(σ (X))}^{2} + {(σ (Y))}^{2}}$ .

Waarom wordt deze manier van optellen van standaardafwijkingen wel "pythagorisch optellen" genoemd?

verder | terug